新高考高考数学一轮复习巩固练习7.8第63练《立体几何小题综合练》（解析版）

第63练　立体几何小题综合练1．(2022·温州模拟)三个平面将空间分成n个部分，则n不可能是(　　)A．5B．6C．7D．8答案　A解析　按照三个平面中平行的个数来分类：(1)三个平面两两平行，如图1，可将空间分成4部分；(2)两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成6部分；图1　　　　　图2(3)三个平面中没有平行的平面：①三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成7部分；②三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成8部分；图3　　　　　图4③三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成6部分．图5综上，n可以为4,6,7,8，不可能为5.2．(2022·铁岭模拟)设α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，下列说法正确的是(　　)A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥βB．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n∥βC．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n答案　C解析　如图，以正方体为例， A项，令AB＝m，BC＝n，平面BCC1B1＝α，平面ADD1A1与平面A1B1C1D1都可以是平面β，α与β可能平行也可能相交，A错；B项，令平面BCC1B1＝α，平面A1B1C1D1＝β，AB＝m，BB1＝n，此时n与β相交，B错；C项，m∥α，由线面平行的性质定理，α内有直线l∥m，m∥n，则n∥l，n⊥β，则l⊥β，则α⊥β，C正确；D项，令平面BCC1B1＝α，平面A1B1C1D1＝β，AB＝m，BB1＝n，但m与n相交，不平行，D错．3．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E是棱DD1的中点，则平面AC1E截该正方体所得的截面面积为(　　)A．5B．2C．4D．2答案　D解析　如图所示，设F为BB1的中点，连接AF，FC1，EF，设G为CC1的中点，连接EG，GB，由EG∥AB且EG＝AB，得四边形ABGE是平行四边形，则AE∥BG且AE＝BG，又BG∥C1F且BG＝C1F，得AE∥C1F且AE＝C1F，则A，E，C1，F共面，故平面AC1E截该正方体所得的截面为平面AFC1E.又正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，AF＝FC1＝EC1＝EA，AC1＝2，EF＝2，EF⊥AC1，故＝×2×2＝2.4.(2022·咸阳模拟)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥P－ABC中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，则异面直线PA与BC所成的角的大小为(　　) A．30°B．45°C．60°D．90°答案　C解析　如图，设底面圆的圆心为O，分别取AC，PC的中点D，E，连接PO，CO，OD，OE，DE，因为△APB是等腰直角三角形，∠APB＝90°，设圆锥的底面圆半径OA＝1，则PA＝，PC＝，则DE＝PA＝，且DE∥PA，又∠ACB＝90°，且AC＝BC＝，而OD＝BC＝，且OD∥BC，所以∠EDO为异面直线PA与BC所成的角或其补角，在Rt△PCO中，因为E为PC的中点，所以OE＝PC＝，所以△DOE是正三角形，即异面直线PA与BC所成的角为60°.5.(2022·模拟)如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中错误的是(　　)A．AE⊥CEB．BE⊥DEC．DE⊥平面BCE D．平面ADE⊥平面BCE答案　C解析　因为四边形ABCD是圆柱的轴截面，则线段AB是直径，BC，AD都是母线，又E是底面圆周上异于A，B的一点，于是得AE⊥BE，而BC⊥平面ABE，AE⊂平面ABE，则BC⊥AE，因为BC∩BE＝B，BC，BE⊂平面BCE，则AE⊥平面BCE，CE⊂平面BCE，因此得AE⊥CE，同理，BE⊥DE，A，B正确；点D不在底面ABE内，而直线AE在底面ABE内，即AE，DE是两条不同直线，若DE⊥平面BCE，因为AE⊥平面BCE，与过一点有且只有一条直线垂直于已知平面矛盾，C不正确；因为AE⊥平面BCE，而AE⊂平面ADE，于是平面ADE⊥平面BCE，D正确．6．设正四面体ABCD的棱长为a，E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)A.a2B.a2C．a2D.a2答案　A解析　由题意，正四面体ABCD如图所示，因为E，F分别是BC，AD的中点，所以＝(＋)，＝，又因为正四面体ABCD的棱长都为a，所以〈，〉＝〈，〉＝60°，故·＝(＋)·＝(·＋·)＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2.7．已知三棱锥A－BCD的外接球为球O，△BCD是边长为3的正三角形，若三棱锥A－BCD体积的最大值为，则球O的体积为(　　)A.πB.π C．100πD．64π答案　A解析　设三棱锥A－BCD的高为h，当球心O在三棱锥A－BCD的高线上时，三棱锥A－BCD的体积最大，此时××3×3×h＝，解得h＝9.设球O的半径为R，如图，AM是正三棱锥的高，BM＝××3＝3，OB＝OA＝R，则(9－R)2＋32＝R2，解得R＝5，所以球O的体积为πR3＝π.8．已知在四面体ABCD中，AC＝3，其余棱长均为2，则该四面体外接球的表面积是(　　)A.B．8πC．12πD．32π答案　A解析　取BD的中点E，连接AE，CE，在△ACE中，AE＝CE＝，AC＝3，可得∠AEC＝.四面体外接球的球心必在过△ABD和△CBD的外接圆圆心且与所在面垂直的直线上，设△CBD，△ABD外接圆的圆心分别为O1，O2，作OO1⊥平面CBD，OO2⊥平面ABD，则O即为四面体ABCD外接球的球心，连接OE，如图，在Rt△OO1E中，O1E＝，∠OEO1＝，所以OO1＝1，在Rt△OO1C中，O1C＝，所以OC2＝12＋2＝，所以四面体ABCD外接球的表面积为4π×＝.9．(多选)(2022·辽宁六校联考)已知正六棱锥的侧面与底面所成的锐二面角θ＝30°，侧棱长为2米，则(　　)A．正六棱锥的底面边长为2米 B．正六棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为C．正六棱锥的侧面积为48平方米D．正六棱锥的体积为16立方米答案　BCD解析　由题设，可得如图所示的正六棱锥．G为AB的中点，O为底面中心，则∠PGO＝θ＝30°，且PA＝PB＝PC＝PD＝PE＝PF＝2，设PO＝h，则PG＝2h，若底面边长为r，则OA＝r，AG＝，∴解得PO＝h＝2，且r＝4，∴由正六边形的性质知，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA＝＝4，A错误；正六棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为，B正确；S△PAB＝PG·AB＝8，故侧面积为48平方米，C正确；由S正六边形ABCDEF＝6×OG·AB＝24，故此正六棱锥的体积V＝PO·S正六边形ABCDEF＝16，D正确．10．(多选)(2022·石家庄模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为6，M，N为底面A1B1C1D1内两点，＝＋λ＋λ(λ∈[0,1])，异面直线BN与CC1所成角为30°，则下列结论正确的是(　　)A．CM⊥BDB．直线MN与DD1为异面直线C．线段MN长度的最小值为3－2D．三棱锥B－A1MN的体积可能取值为16答案　AC解析　由＝＋λ＋λ得＝－＝λ(＋)＝λ，0≤λ≤1，所以点M的轨迹是线段A1C1，因为BB1∥CC1，直线BN与CC1所成角为30°，所以∠B1BN＝30°，所以BN是以BB1为轴，B为顶点，顶角为60°的圆锥的母线，该圆锥侧面与上底面A1B1C1D1的交线为以B1为圆心，BB1tan30°＝2为半径的圆在正方形A1B1C1D1内的圆弧，即为点N 的轨迹．因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，则AA1⊥BD，又BD⊥AC，AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面AA1C1C，而CM⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CM，A正确；在平面A1B1C1D1内作直线与线段A1C1，和N点轨迹圆弧分别交于点M，N，则D1D与MN相交，B错；B1到直线A1C1的距离是×6＝3，所以MN的最小值为3－2，C正确；设N点轨迹圆弧交B1C1于点P，在正方形A1B1C1D1中知P到直线A1C1的距离等于N到A1M距离的最大值，此最大值为×(6－2)＝3－，因此S△A1NM的最大值为×(3－)×6＝18－6，三棱锥B－A1MN体积的最大值为×(18－6)×6＝12(3－)，故F点无限接近B点时，cos∠MFN会无限接近，故∠MFN的余弦值的取值范围不为，③错误；对于④，如图，将等边△ABC与等边△ABD铺平，放在同一平面上，故有N′F＋FM′≥M′N′＝，当且仅当F为AB的中点时M′F＋FN′取最小值，故在正方体中，MF＋FN≥，故△FMN周长的最小值为＋1，故④对．