新高考高考数学一轮复习巩固练习7.6第61练《几何法求空间角》（解析版）

第61练　几何法求空间角考点一　异面直线所成的角1．(2022·长春质检)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝，AD＝1，AA1＝，则异面直线AD1与A1C1所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.答案　D解析　连接AC(图略)，∵AA1∥CC1，AA1＝CC1，∴四边形AA1C1C为平行四边形，∴A1C1∥AC，则∠D1AC即为异面直线AD1与A1C1所成的角或其补角，cos∠D1AC＝＝.2．已知正四面体ABCD，点M为棱AB上一个动点，点N为棱CD上靠近点C的三等分点，记直线MN与BC所成角为θ，则sinθ的最小值为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　不妨设正四面体ABCD的棱长为3，则该四面体的高为，连接AN，BN，BN＝AN＝，要求直线MN与BC所成的最小角，即为直线BC与平面ABN所成的角，记点C到平面ABN的距离为h，由等体积法可知VC－ABN＝VA－BCN，即·S△ABN·h＝·S△BCN·，解得h＝， 所以直线BC与平面ABN所成角的正弦值为＝＝，所以sinθ的最小值为.3．(2022·海口模拟)直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长均相等，∠ADC＝120°，M是BB1上一动点，当A1M＋MC取得最小值时，直线A1M与B1C所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　如图，设直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，当A1M＋MC取得最小值时，M为BB1的中点，连接A1D，则A1D∥B1C，则∠DA1M为直线A1M与B1C所成角(或其补角)，此时A1D＝2，A1M＝，∵∠ADC＝120°，∴△ABD为等边三角形，得BD＝2，∴DM＝，则△A1MD为等腰三角形，可得cos∠DA1M＝＝.考点二　直线与平面所成的角4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱A1B1，AD，CC1的中点，则对角线BD1与平面EFG所成角的大小为(　　)A.B.C.D.答案　D解析　如图，在正方体中取棱B1C1，AA1，CD的中点M，N，P，连接EM，MG，GP，PF，FN，NE，得到正六边形ENFPGM， 连接AC，BD，则AC⊥BD，又DD1⊥AC，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，又BD1⊂平面BDD1，故AC⊥BD1，又AC∥PF，则PF⊥BD1，同理可得NF⊥BD1，且PF∩NF＝F，故BD1⊥平面ENFPGM，所以对角线BD1与平面EFG所成角的大小为.5．已知E，F，O分别是正方形ABCD的边BC，AD及对角线AC的中点，将△ACD沿着AC进行翻折构成三棱锥，则在翻折过程中，直线EF与平面BOD所成角的余弦值的取值范围为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　如图所示，作EH⊥OB交OB于H，设直线EF与平面BOD的交点为M，连接MH，由EH⊥OB，EH⊥OD，且OD∩OB＝O，OD，OB⊂平面BOD，则EH⊥平面BOD，故∠HME为直线EF与平面BOD所成的角，因为MH⊂平面BOD，则EH⊥MH，所以cos∠HME＝，则sin∠HME＝，令正方形ABCD的边长为1，则AC＝，HE＝OC＝AC＝，在翻折过程中，EF与平面BOD的交点M在平面ABC内的射影，由点O向点H移动， 即EM越来越小，且EH