新高考高考数学一轮复习巩固练习7.11第66练《高考大题突破练—空间距离及立体几何中的探索性问题》（解析版）

第66练　高考大题突破练—空间距离及立体几何中的探索性问题考点一　空间距离1．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝4，AD＝6，M，N分别是DC1，AC的中点．(1)求证：MN∥平面ADD1A1；(2)求C到平面A1MN的距离．(1)证明　如图，分别取DD1和AD的中点E，F，连接EF，EM，FN，则EM∥DC且EM＝DC，FN∥DC且FN＝DC，所以EM∥FN，且EM＝FN，所以四边形EMNF是平行四边形，所以EF∥MN，又EF⊂平面ADD1A1，MN⊄平面ADD1A1，所以MN∥平面ADD1A1.(2)解　如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(6,0,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,2)，C1(0,4,2)，A1(6,0,2)，又M，N分别是DC1，AC的中点，所以M(0,2,1)，N(3,2,0)， 所以＝(－3,2，－2)，＝(－6,2，－1)，＝(0，－2,1)．设平面A1MN的一个法向量为n＝，则⇒令z＝3，则x＝1，y＝，所以n＝，设C到平面A1MN的距离为d，则d＝＝＝.所以C到平面A1MN的距离为.考点二　立体几何中的探索性问题2．在如图所示的几何体中，平面ADNM⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，四边形ADNM是矩形，∠DAB＝，AB＝2，AM＝1，E是AB的中点．(1)求证：DE⊥平面ABM；(2)在线段AM上是否存在点P，使平面PEC与平面ECD夹角的大小为？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．(1)证明　如图，连接BD，由四边形ABCD是菱形，∠DAB＝，E是AB的中点．得DE⊥AB，因为四边形ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD且交线为AD，所以MA⊥平面ABCD，又DE⊂平面ABCD，所以DE⊥AM，又AM∩AB＝A，AM，AB⊂平面ABM，所以DE⊥平面ABM.(2)解　由DE⊥AB，AB∥CD，故DE⊥CD， 因为四边形ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD且交线为AD，ND⊥AD，所以ND⊥平面ABCD，以D为原点，DE所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DN所在直线为z轴，建立如图所示的坐标系，则D(0,0,0)，E(，0,0)，C(0,2,0)，N(0,0,1)，设P(，－1，m)(0≤m≤1)，则＝(－，2,0)，＝(0，－1，m)，因为ND⊥平面ABCD，所以易知＝(0,0,1)为平面ECD的一个法向量，设平面PEC的法向量为n＝(x，y，z)，n·＝n·＝0，即取z＝1，n＝，假设在线段AM上存在点P，使平面PEC与平面ECD夹角的大小为.则cos＝＝＝，解得m＝，经检验，符合题意．所以存在点P在线段AM上，使平面PEC与平面ECD夹角的大小为，此时AP＝.3．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥DC，且AB＝1，AD＝DC＝DP＝2，∠PDC＝120°.(1)求证：AD⊥平面PCD；(2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值；(3)设M是棱PA的中点，在棱BC上是否存在一点F，使MF∥PC？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明　因为平面ABCD⊥平面PCD，平面ABCD∩平面PCD＝CD，AD⊥DC，所以AD⊥平面PCD. (2)解　作z轴⊥平面ABCD，则z轴在平面PCD中，如图，以D为原点，以DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，则P(0，－1，)，D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，则＝(2,0,0)，＝(0，－1，)，＝(0,3，－)，＝(－2,1,0)，设m＝(x1，y1，z1)为平面PAD的法向量，n＝(x2，y2，z2)为平面PBC的法向量，则有可取m＝(0，，1)，同理，可取n＝(1,2,2)，则|cos〈m，n〉|＝＝＝，所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为.(3)解　假设点F存在，设此时＝λ(0≤λ≤1)，M，＝λ＝(－2λ，λ，0)，＝，＝(0,1,0)，则＝＋＋＝，因为MF∥PC，则∥，所以存在唯一的实数μ，使得＝μ，即＝(0,3μ，－μ)，所以方程组无解，与题设矛盾，所以棱BC上不存在一点F，使MF∥PC.4．如图，在Rt△AOB中，∠OAB＝，斜边AB＝4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B－AO－C是直二面角．动点D在斜边AB上． (1)求证：平面COD⊥平面AOB；(2)求直线CD与平面AOB所成角的正弦值的最大值．(1)证明　∵△AOB为直角三角形，且斜边为AB，∴∠AOB＝.将Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到Rt△AOC，则∠AOC＝，即OC⊥AO.∵二面角B－AO－C是直二面角，即平面AOC⊥平面AOB.又平面AOC∩平面AOB＝AO，OC⊂平面AOC，∴OC⊥平面AOB.∵OC⊂平面COD，因此，平面COD⊥平面AOB.(2)解　在Rt△AOB中，∠OAB＝，斜边AB＝4，∴OB＝AB＝2且∠OBA＝.由(1)知，OC⊥平面AOB，∴直线CD与平面AOB所成的角为∠ODC.在Rt△OCD中，∠COD＝，OC＝OB＝2，CD＝＝，∴sin∠ODC＝＝，当OD⊥AB时，OD取最小值，此时sin∠ODC取最大值，且OD＝OBsin＝.因此，sin∠ODC＝＝≤＝，即直线CD与平面AOB所成角的正弦值的最大值为.