新高考高考数学一轮复习巩固练习7.10第65练《高考大题突破练—向量法求空间角》（解析版）

第65练　高考大题突破练—向量法求空间角考点一　异面直线所成的角1．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD的中点．(1)求异面直线PB与CM所成角的余弦值；(2)求点M到平面PAC的距离．解　(1)因为四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，故AB，AD，AP两两垂直，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)，M(0,2,2)，＝(2,0，－4)，＝(－2，－2,2)，则|cos〈，〉|＝＝＝，即异面直线PB与CM所成角的余弦值为.(2)由(1)得＝(0,0,4)，＝(2,4,0)，设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝2，则y＝－1，故n＝(2，－1,0)，＝(0,2,2)，设点M到平面PAC的距离为d，则由点到直线的距离公式可得d＝＝＝，故点M到平面PAC的距离为.考点二　直线与平面所成的角2．(2022·浙江月考)如图，已知在四棱锥A－BCDE中，△ABC 是边长为2的正三角形，四边形BCDE满足BE∥CD，BE＝2CD，AE＝3，AE⊥平面ABC，P，Q分别为AB，AE的中点．(1)求证：DQ⊥PQ；(2)求直线DP与平面BCDE所成角的正弦值．(1)证明　连接CP(图略)，∵AE⊥平面ABC，CP⊂平面ABC，∴AE⊥CP，∵△ABC是正三角形，∴CP⊥AB，∴CP⊥平面ABE，∵PQ⊂平面ABE，∴CP⊥PQ，∵PQ∥BE∥CD，PQ＝BE＝CD，∴四边形CDQP为平行四边形，即DQ∥CP，∴DQ⊥PQ.(2)解　如图，以A为原点，过A作AC的垂线为x轴，以AC所在直线为y轴，以AE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB＝2，AE＝3，∴B(，1,0)，C(0,2,0)，E(0,0,3)，＝(－，－1,3)，＝＋＝，P，∴＝，＝(－，1,0)，设平面BCDE的法向量为n＝(x，y，z)，则 由得令x＝，得n＝(，3,2)，|cos〈n，〉|＝＝.∴直线DP与平面BCDE所成角的正弦值为.考点三　平面与平面所成的角3．如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，CF⊥SD，SC＝2，且AD∥BC，SE＝ED＝2，DF∶FA＝5∶3，且SA＝AB＝4.(1)证明：平面SCD⊥平面EFC；(2)求平面EFC与平面BCE夹角的正弦值．(1)证明　因为SA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以SA⊥AD，又因为SD＝2×2＝4，在Rt△SAD中，可得AD＝＝8，所以DF＝5，AF＝3，所以＝，＝，所以△FED∽△SAD，所以∠SAD＝∠FED＝90°，即SD⊥EF，又由CF⊥SD，且EF∩FC＝F，EF，FC⊂平面EFC，所以SD⊥平面EFC，又因为SD⊂平面SCD，所以平面SCD⊥平面EFC.(2)解　因为SD⊥平面EFC，EC⊂平面EFC，所以SD⊥EC，又因为SE＝ED，可得△DCE≌△SCE，所以DC＝SC＝2，如图所示，连接AC.因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥AC，SA⊥FC，又因为FC⊥SD，SD∩SA＝S，所以FC⊥平面SAD，FC⊥AD，所以AC＝＝2，FC＝＝，过点A作AM∥FC交BC于点M，可得AM＝FC＝，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，可得B(－1，，0)，C(3，，0)，E(4,0,2)，S(0,0,4)，D(8,0,0)．设平面BCE的法向量为u＝(x，y，z)， 则可取平面BCE的一个法向量为u＝(0,2，)，又SD⊥平面EFC，所以平面EFC的一个法向量为＝(8,0，－4)．设平面EFC与平面BCE夹角为θ，则cosθ＝＝＝，则sinθ＝＝，所以平面EFC与平面BCE夹角的正弦值为.4．(2021·天津改编)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．(1)求证：D1F∥平面A1EC1；(2)求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值．(3)求平面AA1C1与平面A1C1E夹角的正弦值．(1)证明　以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，C1(2,2,2)，D(0,2,0)，D1(0,2,2)，因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以E(2,1,0)，F(1,2,0)，所以＝(1,0，－2)，＝(2,2,0)， ＝(2,1，－2)，设平面A1EC1的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，则令x1＝2，则m＝(2，－2,1)，因为·m＝2－2＝0，所以⊥m，因为D1F⊄平面A1EC1，所以D1F∥平面A1EC1.(2)解　由(1)得，＝(2,2,2)，设直线AC1与平面A1EC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈m，〉|＝＝＝.所以直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为.(3)解　连接BD，由正方体的特征可得，平面AA1C1的一个法向量为＝(2，－2,0)，则cos〈，m〉＝＝＝，所以平面AA1C1与平面A1C1E夹角的正弦值为＝.