新高考高考数学一轮复习巩固练习7.9第64练《空间向量的概念与运算》（解析版）

第64练　空间向量的概念与运算考点一　空间向量的线性运算1．已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　)A.a＋b－cB．－a＋b＋cC.a－b＋cD.a＋b－c答案　B解析　因为点M在线段OA上，且OM＝2MA，所以＝a，又点N为BC的中点，所以＝b＋c，故＝－＝b＋c－a＝－a＋b＋c.2．(2022·宜春模拟)设O－ABC是正三棱锥，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　如图所示，连接AG1并延长，交BC于点M，则M为BC的中点，＝(＋)＝(－2＋),＝＝(－2＋)． ∵OG＝3GG1，∴＝3＝3(－)，∴＝.则＝＝(＋)＝＝＋＋，∴x＝，y＝，z＝.考点二　空间向量基本定理及其应用3．下列命题中正确的个数是(　　)①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；②向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面；③如果三个向量a，b，c不共面，那么对于空间任意一个向量p，存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc；④若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}是空间向量的一个基底．A．0B．1C．2D．3答案　B解析　①当b＝0时，a与c不一定共线，故①错误；②当a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面或在同一平面内，故②错误；由空间向量基本定理知③正确；④当a，b不共线且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)时，a，b，c共面，故④错误．4．(2022·模拟)已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有＝－2＋5＋m，则实数m的值为(　　)A．0B．2C．－1D．－2答案　B解析　因为＝－2＋5－m，动点Q在△ABC所在平面内运动，所以－2＋5－m＝1，解得m＝2.考点三　空间向量数量积及其应用 5．(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，下列结论正确的有(　　)A.⊥B.⊥C.是平面ABCD的一个法向量D.∥答案　ABC解析　由题意，向量＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，对于A，由·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，可得⊥，所以A正确；对于B，由·＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，所以⊥，所以B正确；对于C，由⊥且⊥，可得向量是平面ABCD的一个法向量，所以C正确；对于D，由是平面ABCD的一个法向量，可得⊥，所以D不正确．6．(2022·月考)如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AC＝6，AB＝4，BD＝8，则CD的长为(　　)A.B．7C．2D．9答案　C解析　因为AC⊥AB，BD⊥AB，所以·＝0，·＝0，因为二面角为60°，所以·＝||·||·cos60°＝6×8×＝24，即·＝－24，所以||2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝36＋16＋64＋0－48＋0＝68，所以||＝2，即CD的长为2.7．已知a＝(5,3,1)，b＝，且a与b的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为________________________．答案　∪解析　由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－.因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0且〈a，b〉≠180°.由a·b＜0，得3t－＜0，所以t＜.若a与b的夹角为180°，则存在λ＜0，使a＝λb(λ＜0)，即(5,3,1)＝λ，所以解得t＝－，即t