新高考高考数学一轮复习巩固练习8.8第75练《双曲线》（解析版）

第75练　双曲线考点一　双曲线的定义1．已知M(－3,0)，N(3,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是(　　)A．双曲线B．双曲线的左支C．一条射线D．双曲线的右支答案　D解析　根据双曲线的定义可得|PM|－|PN|＝40)的离心率e＝，所以e2＝1＋＝，解得a＝2，所以F1(0，－)，F2(0，)．双曲线－x2＝1的渐近线方程为y＝±2x，由P为该双曲线上支上的一个动点，根据双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a＝4，所以|PF1|＝4＋|PF2|.设点P到渐近线y＝2x的距离为d，则|PF1|＋d＝4＋|PF2|＋d，过F2作渐近线y＝2x的垂线，垂足为M，所以|F2M|＝＝1，所以|PF1|＋d＝4＋|PF2|＋d≥4＋|F2M|＝5.所以|PF1|与P到一条渐近线的距离之和的最小值为5. 11．(2022·邯郸模拟)设F1，F2是双曲线C：－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C的左支上，且＋＝2，则△PF1F2的面积为(　　)A．8B．8C．4D．4答案　A解析　由＋＝＝＝||＝2，不妨设F1(－2，0)，F2(2，0)，所以|OP|＝|F1F2|，所以点P在以|F1F2|为直径的圆上，即△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形．故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝48.又|PF2|－|PF1|＝2a＝4，所以16＝(|PF2|－|PF1|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝48－2|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝16，所以＝|PF1||PF2|＝8.12．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·0，b>0)的右焦点为F(c,0)，渐近线方程为y＝±x.将渐近线方程化为一般式bx±ay＝0.由点到直线的距离公式可知|AF|＝＝b，由＝，可得|BF|＝.设∠AOF＝α，由双曲线对称性可知∠AOB＝2α，而tanα＝，tan2α＝＝＝，由二倍角正切公式可知tan2α＝＝，即＝，化简可得4a2＝9b2，则e＝＝＝＝.