第80练 求值与证明问题考点一 求值问题1．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆E在第一象限交于点P，若PF1＝5，且3a＝b2.(1)求椭圆E的方程；(2)设A，B是椭圆E上位于直线l两侧的两点．若直线AB过点(1，－1)，且∠APF2＝∠BPF2，求直线AB的方程．解 (1)由题可得PF2＝＝3，因为PF1＝5，由椭圆的定义得a＝4，所以b2＝12，所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)易知点P的坐标为(2,3)．因为∠APF2＝∠BPF2，所以直线PA，PB的斜率之和为0.设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为－k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线PA的方程为y－3＝k(x－2)，联立可得(3＋4k2)x2＋8k(3－2k)x＋4(3－2k)2－48＝0，所以x1＋2＝，同理直线PB的方程为y－3＝－k(x－2)，则可得x2＋2＝＝，所以x1＋x2＝，x1－x2＝，kAB＝＝＝＝，所以满足条件的直线AB的方程为y＋1＝(x－1)，即x－2y－3＝0.2．已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(2,1)是抛物线内一点，P为抛物线上的动点，且|AP|＋|PF|的最小值为3.(1)求抛物线E的方程；(2)过点(1,1)作斜率之和为0的两条直线l1，l2(l1的斜率为正数)，其中l1与曲线E交于M，C两点，l2与曲线E交于B，N两点，若四边形MBCN的面积等于16，求直线l1的方程．
解 (1)过点P作抛物线E准线的垂线，垂足为D(图略)，则|PF|＝|PD|，于是|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PD|，当A，P，D三点共线时，|AP|＋|PD|有最小值2＋，所以2＋＝3，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x.(2)依题意可知，直线l1，l2的斜率均存在，并且互为相反数，由(1)知F(1,0)，设直线l1的方程为x＝m(y－1)＋1(m>0)，M(x1，y1)，C(x2，y2)，将l1的方程代入抛物线方程并化简得y2－4my＋4m－4＝0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝4m－4.|MC|＝·＝4·，同理得|BN|＝4·.设直线l1的倾斜角为θ，则tanθ＝，直线l1，l2的夹角α＝2θ或π－2θ，sinα＝sin2θ＝＝＝，因此四边形MBCN的面积S＝|MC|·|BN|·sin2θ＝16m·＝16，令t＝m2，得t(t＋1)2－t2＝3，从而有t3＋t2＋t＝3，解得t＝1，此时m＝1，故直线l1的方程为y＝x.考点二 证明问题3．如图，B，A是椭圆C：＋y2＝1的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是kBQ，kAQ，kAP.(1)求证：kBQ·kAQ＝－；(2)若直线PQ过定点，求证：kAP＝4kBQ.证明 (1)由题意知B(－2,0)，A(2,0)，
设Q(x1，y1)，则＋y＝1，则kBQ·kAQ＝·＝＝＝－.(2)设P(x2，y2)，由(1)知kBQ·kAQ＝－，要证kAP＝4kBQ，只需证kAP＝4×＝－，即证kAPkAQ＋1＝0，即证·＋1＝0，即证(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0.设直线PQ：x＝ty＋，代入＋y2＝1，整理得(t2＋4)y2＋ty－＝0，显然，Δ>0成立．则y1＋y2＝，y1y2＝.∵(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝＋y1y2＝(t2＋1)y1y2－t(y1＋y2)＋＝(t2＋1)·＋＋＝0，∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0成立，从而kAP＝4kBQ成立．4．(2022·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>1)上的点P(x0,1)到抛物线焦点F的距离为.(1)求抛物线C的方程；(2)若点E(t,4)在抛物线C上，过点D(0,2)的直线l与抛物线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，
y2>0)两点，点H与点A关于x轴对称，直线AH分别与直线OE，OB交于点M，N(O为坐标原点)，求证：S△AMD＝SOMN.(1)解 由点P(x0,1)在抛物线C上可得，12＝2px0，解得x0＝.所以P.易知抛物线的准线方程为x＝－，由抛物线的定义可得|PF|＝x0＋＝＋＝，整理得2p2－5p＋2＝0，解得p＝2或p＝(舍去)．故抛物线C的方程为y2＝4x.(2)证明 由E(t,4)在抛物线C上可得42＝4t，解得t＝4.所以E(4,4)，则直线OE的方程为y＝x.由题意知A(x1，y1)，B(x2，y2)，H(x1，－y1)，则直线AH的方程为x＝x1，直线OB的方程为y＝x，所以易得M(x1，x1)，N.易知直线l的斜率大于0，设直线l的方程为y＝kx＋2(k>0)．联立得消去y得k2x2＋(4k－4)x＋4＝0.则Δ＝(4k－4)2－16k2＝16－32k>0，得0
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