新高考高考数学一轮复习巩固练习8.9第76练《抛物线》（解析版）

第76练　抛物线考点一　抛物线的定义1．若拋物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)A．4B．6C．8D．12答案　B解析　抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，∵点P到y轴的距离是4，∴点P到准线的距离是4＋2＝6.根据抛物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6.2．已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　)A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆答案　C解析　方程5＝|3x＋4y－12|可化为＝，它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x＋4y－12＝0的距离，由抛物线的定义，可知动点M的轨迹是抛物线．3．已知P为抛物线y2＝4x上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给定点A(4,5)，则|PA|＋d的最小值是(　　)A．4B.C.－1D.－1答案　D解析　因为A在抛物线的外部，所以当点P，A，F共线时，＋最小，此时＋d也最小，＋d＝＋＝－1＝－1＝－1.考点二　抛物线的标准方程4．(2022·沈阳模拟)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为(　　)A．y2＝x或x2＝－8yB．y2＝x或y2＝8xC．y2＝－8xD．x2＝－8y答案　A解析　∵点P在第四象限，∴抛物线开口向右或向下．当开口向右时，设抛物线的方程为y2 ＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，∴p1＝，∴抛物线的方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线的方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，∴p2＝4，∴抛物线的方程为x2＝－8y.5．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在x轴的正半轴上，抛物线上一点A满足|AF|＝5，且点A与点B(0,2)的连线与直线BF垂直，则抛物线的标准方程可以是(　　)①y2＝4x；②y2＝8x；③y2＝12x；④y2＝16x.A．①③B．②③C．①④D．②④答案　C解析　设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点F.设A.由AB⊥BF，得·＝－1.化简，得8＝y，解得y0＝4.由|AF|＝5，得＋＝5，所以＋＝5，所以p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝16x.考点三　抛物线的性质6．如果抛物线y2＝ax的准线是直线x＝－1，那么它的焦点坐标为(　　)A．(1,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(－1,0)答案　A解析　准线是直线x＝－1，则a＝4，焦点坐标为(1,0)．7．(多选)已知抛物线ax2＝y的焦点到准线的距离为，则实数a等于(　　)A．1B．－1C.D．－答案　AB解析　抛物线ax2＝y，即x2＝y，由焦点到准线的距离为，得＝，则a＝±1.8．过拋物线y2＝2px(p>0)的焦点作一条直线交拋物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值是(　　)A．4B．－4C．p2D．－p2答案　B 解析　当直线AB的斜率存在时，设斜率为k，则k＝＝＝，又因为A，F，B三点共线，所以直线AF的斜率也为k，且k＝，所以＝，整理可得y＋y1y2＝2px1－p2，又y＝2px1，所以y1y2＝－p2，故＝＝＝－4；当直线AB的斜率不存在时，x1＝x2＝，则y1＝p，y2＝－p，则＝＝－4.9．拋物线y2＝4x的焦点为F，过F且倾斜角等于的直线与拋物线在x轴上方的曲线交于点A，则|AF|的长为(　　)A．2B．4C．6D．8答案　B解析　易知直线方程为y＝(x－1)，联立消去y得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3.∴点A的横坐标为3，∴＝3－＝4.10．(2022·厦门模拟)已知直线l：y＝k(x－2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点．若|AF|＝2|BF|，则k的值是(　　)A.B.C．2D.答案　C解析　由抛物线C：y2＝8x，知F(2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线l过点(2,0)且其斜率大于零，所以A，B在x轴两侧．又|AF|＝2|BF|，知x1>x2，且x1＋2＝2(x2＋2)，即x1＝2x2＋2.由可得k2x2－(8＋4k2)x＋4k2＝0，由根与系数的关系得代入x1＝2x2＋2，又x1>0，x2>0，可得又k>0， 故k＝2.11．(多选)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别是10和6，则p的值为(　　)A．4B．2C．16D．18答案　BD解析　设抛物线上，该点为A，焦点为F，则点A坐标为(x，±6)，∵|AF|＝10，即x＋＝10①，又点A在抛物线上，∴36＝2px②，由①②得p＝2或18.12．若抛物线Γ：x＝－上有一动点P，则点P到Γ的准线的距离与到直线l：x＋y－5＝0的距离的和的最小值是(　　)A.B.C．2D．3答案　D解析　设点P到准线的距离为d1，到直线l的距离为d2，根据抛物线的定义知，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，则d1＋d2＝|PF|＋d2.过焦点F作FM⊥l于点M，则|PF|＋d2≥|FM|(当且仅当F，P，M三点共线且P在线段FM上时取等号)，又F(－1,0)，所以d1＋d2≥＝3.13.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是(　　)A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线答案　D解析　易知D1C1⊥平面BCC1B1，则PC1为点P到直线C1D1的距离，即点P到点C1的距离等于点P到直线BC的距离，由圆锥曲线的定义知，动点P的轨迹为抛物线． 14．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，垂足为E，若|AB|＝6，则|EM|的长为(　　)A．2B.C．2D.答案　B解析　由已知得F(1,0)，设直线l的方程为x＝my＋1，并与y2＝4x联立得y2－4my－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，E(x0，y0)，y1＋y2＝4m，则y0＝＝2m，x0＝2m2＋1，∴E(2m2＋1,2m)，又|AB|＝x1＋x2＋2＝m(y1＋y2)＋4＝4m2＋4＝6，解得m2＝，线段AB的垂直平分线为y－2m＝－m(x－2m2－1)，令y＝0，得M(2m2＋3,0)，从而|ME|＝＝.