新高考高考数学一轮复习巩固练习8.15第82练《圆锥曲线高考大题突破练——定点与定值问题》（解析版）

第82练　高考大题突破练——定点与定值问题考点一　定点问题1．已知抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的右焦点，且两条曲线相交于点.(1)求椭圆C2的方程；(2)过椭圆C2右顶点的两条直线l1，l2分别与抛物线C1相交于点A，C和点B，D，且l1⊥l2，设M是AC的中点，N是BD的中点，证明：直线MN恒过定点．(1)解　∵在抛物线C1上，∴2＝2p×，解得p＝2，∴抛物线C1的焦点坐标为(1,0)，则a2－b2＝1，①易知＋＝1，②∴由①②可得∴椭圆C2的方程为＋＝1.(2)证明　由题意知，直线l1，l2的斜率存在且不为0，设直线l1：x＝k1y＋2，直线l2：x＝k2y＋2，由得y2－4k1y－8＝0，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则y1＋y2＝4k1，∴yM＝2k1，则xM＝2＋2k，即M(2＋2k，2k1)，同理得N(2＋2k，2k2)，∴直线MN的斜率kMN＝＝，则直线MN的方程为y－2k1＝(x－2k－2)，即y＝[x－2(1－k1k2)]， ∵l1⊥l2，∴·＝－1，即k1k2＝－1，∴直线MN的方程为y＝(x－4)，即直线MN恒过定点(4,0)．2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P作椭圆C的两条相互垂直的弦AB，CD，设M，N分别是AB，CD的中点，则直线MN是否过定点？若过，求出该定点坐标；若不过，请说明理由．解　(1)由已知得解得所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由题意知直线AB，CD的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y＝kx－2(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－16kx＋4＝0，由Δ>0得k2>，且x1＋x2＝，所以xM＝＝，yM＝kxM－2＝－，即M，同理N，所以kMN＝＝，所以直线MN的方程为y＋＝，由对称性可知定点必在y轴上，令x＝0，得y＝－＝－，所以直线MN过定点. 考点二　定值问题3．在直角坐标系xOy中，已知椭圆E的中心在原点，长轴长为8，椭圆在x轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形．(1)求椭圆E的标准方程；(2)过椭圆E内一点M(1,3)的直线与椭圆E分别交于A，B两点，与直线y＝－x交于点N，若＝m，＝n，求证：m＋n为定值，并求出此定值．解　(1)因为长轴长为8，所以2a＝8，即a＝4，又因为两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，所以a＝2c，又a2＝b2＋c2，所以a2＝16，b2＝12，c2＝4.由于椭圆焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N，由＝m，得＝m，所以x1＝，y1＝，则A.因为点A在椭圆E：＋＝1上，所以＋＝1，化简得9m2＋96m＋48－x＝0.同理，由＝n可得9n2＋96n＋48－x＝0，所以m，n可看作是关于x的方程9x2＋96x＋48－x＝0的两个根，故m＋n＝－为定值． 4．(2022·济宁模拟)如图，已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P为双曲线C在第一象限上的一点，且满足|PF1|＋|PF2|＝8，过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线PA，PB，与渐近线的交点分别是A和B.(1)求四边形OAPB的面积；(2)若对于更一般的双曲线C′：－＝1(a>0，b>0)，点P′为双曲线C′上任意一点，过点P′分别作双曲线C′两条渐近线的平行线P′A′，P′B′，与渐近线的交点分别是A′和B′.请问四边形OA′P′B′的面积是否为定值，若是定值，求出该定值(用a，b表示该定值)；若不是定值，请说明理由．解　(1)由双曲线C：x2－＝1，可得其实半轴长为1，虚半轴长为，半焦距为＝2.由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|＋|PF2|＝8，所以|PF1|＝5，|PF2|＝3.因为|F1F2|＝2×2＝4，所以|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF1|2，可得PF2⊥F1F2，则点P的横坐标xP＝2，所以22－＝1，又yP>0，所以yP＝3，即点P(2,3)．过点P且与渐近线y＝－x平行的直线的方程为y－3＝－(x－2)，由得即点B. 连接OP(图略)．直线OP的方程为3x－2y＝0，则点B到直线OP的距离d＝＝＝，又|OP|＝，四边形OAPB为平行四边形，所以四边形OAPB的面积S▱OAPB＝2S△OBP＝|OP|·d＝.(2)四边形OA′P′B′的面积为定值ab，理由如下：双曲线C′：－＝1的渐近线方程为y＝±x.设点P′(x0，y0)，点B′在直线y＝x上，则直线P′B′的方程为y－y0＝－(x－x0)，由得即点B′.连接OP′(图略)，直线OP′的方程为y＝x，即y0x－x0y＝0，则点B′到直线OP′的距离d1＝＝＝＝，又|OP′|＝，四边形OA′P′B′为平行四边形，所以四边形OA′P′B′的面积S▱OA′P′B′＝2S△OB′P′＝|OP′|·d1＝·＝(定值)．