新高考高考数学一轮复习巩固练习8.16第83练《探索性问题与圆锥曲线的综合问题》（解析版）

第83练　探索性问题与圆锥曲线的综合问题考点一　探索性问题1．已知椭圆N：＋＝1(a>b>0)经过点C(0,1)，且离心率为.(1)求椭圆N的标准方程与焦距；(2)直线l：y＝kx－与椭圆N的交点为A，B两点，线段AB的中点为M，是否存在常数λ，使∠AMC＝λ∠ABC恒成立，并说明理由．解　(1)因为椭圆N：＋＝1(a>b>0)经过点C(0,1)，且离心率为，所以b＝1，＝.又因为a2－c2＝b2，解得c＝1，a＝，所以焦距2c＝2，椭圆N的标准方程为＋y2＝1.(2)存在常数λ＝2，使∠AMC＝2∠ABC恒成立．理由如下，联立得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，Δ＝(－12k)2－4(9＋18k2)(－16)>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，则·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋＝(1＋k2)·－·＋＝0，所以⊥.因为线段AB的中点为M，所以|MC|＝|MB|，所以∠AMC＝2∠ABC，所以存在常数λ＝2，使∠AMC＝2∠ABC恒成立．2．(2022·岳阳模拟)已知双曲线C：－＝1的离心率为，点P(4，)在C上．(1)求双曲线C的方程； (2)设过点(1,0)的直线l与曲线C交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得·为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．解　(1)由题意可得，解得a2＝4，b2＝1，∴双曲线方程为－y2＝1.(2)设直线l的方程为x＝my＋1，由题意知直线l斜率存在，m≠0，定点Q(t,0)，联立直线l与双曲线的方程为可得(m2－4)y2＋2my－3＝0，∴m2－4≠0，且Δ＝4m2＋12(m2－4)>0，解得m2>3且m2≠4.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，∴x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝－＋2＝，x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝－－＋1＝－＝－4－.∴·＝(x1－t，y1)·(x2－t，y2)＝(x1－t)(x2－t)＋y1y2＝x1x2－t(x1＋x2)＋t2＋y1y2＝－4－＋t·－＋t2＝－4＋t2＋，若·为常数，与m无关，则有8t－23＝0，即t＝，此时·＝.当直线斜率为0，即直线l与x轴重合时，不妨设M(－2,0)，N(2,0)，此时·＝成立，综上，在x轴上存在定点Q，使得·为常数.考点二　综合问题3．(2022·娄底模拟)已知直线l：x＝my＋1过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点F，抛物线x2＝4y的焦点为椭圆C的上顶点，且l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x＝4上的射影依次为D，K，E.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且＝λ1，＝λ2，当m变化时，求证：λ1＋λ2为定值；(3)当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，请说明理由．(1)解　因为直线l：x＝my＋1过椭圆C的右焦点F，所以右焦点F(1,0)，即c2＝1.又因为x2＝4y的焦点(0，)为椭圆C的上顶点，所以b＝，即b2＝3，a2＝b2＋c2＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明　由消去x得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－，因为＝λ1，＝λ2，M，所以＝λ1(1－x1，－y1)，＝λ2(1－x2，－y2)，所以λ1＝－1－，λ2＝－1－，所以λ1＋λ2＝－2－＝－2－＝－，综上所述，当m变化时，λ1＋λ2为定值－.(3)解　当m＝0时，直线l⊥x轴，则四边形ABED为矩形，易知AE与BD相交于点N，猜想AE与BD相交于点N，证明如下：由(2)得＝＝，＝，因为y2－(－y1)＝(y1＋y2)－my1y2＝－m＝0，所以∥，又与有公共点N，所以A，N，E三点共线．同理可得B，N，D三点共线，则猜想成立，即当m变化时，直线AE与BD相交于定点N.4．(2022·石家庄模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A(0，－)，直线AF2的倾斜角为60°，原点O到直线AF2的距离是a2.(1)求E的方程；(2)如图，过E上任一点P作直线PF1，PF2分别交E于M，N(异于P的两点)，且＝m，＝n，探究：＋是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 解　(1)方法一　点A(0，－)，直线AF2的倾斜角为60°，可得c＝1，在Rt△AOF2中，求得点O到直线AF2的距离是，又已知点O到直线AF2的距离是a2，所以a2＝2，由a2＝b2＋c2，求得b2＝1，所以E的方程是＋y2＝1.方法二　由点A(0，－)，直线AF2的倾斜角为60°，可得kAF2＝＝，c＝1.由AF2：x－y－＝0，得点O到直线AF2的距离为，又已知点O到直线AF2的距离是a2，所以a2＝2，由a2＝b2＋c2，求得b2＝1，所以E的方程是＋y2＝1.(2)当P为椭圆的右顶点时，＝＝，＝＝，＋＝6，当P为椭圆的左顶点时，同理可得，＋＝6.当P不为椭圆的左、右顶点，即直线PM，PN的斜率均不为零时，设直线PM的方程是x＝－1＋ry，直线PN的方程是x＝1＋sy，分别代入椭圆方程x2＋2y2－2＝0，得(r2＋2)·y2－2ry－1＝0和(s2＋2)y2＋2sy－1＝0.设P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y0y1＝－，y0y2＝－.由＝m，得y1＝－my0，＝－＝y(r2＋2)， 由PM：x＝－1＋ry，得r＝，所以＝y(r2＋2)＝(x0＋1)2＋2y＝3＋2x0.由＝n，仿前述过程，可得＝3－2x0，所以＋＝6，为定值．综上可得，＋恒为定值，且该定值为6.