2023中考数学一轮复习测试卷4.4《等腰三角形》一、选择题下面给出的几种三角形:①有两个角为60°的三角形;②三个外角都相等的三角形;③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形;④有一个角为60°的等腰三角形.其中一定是等边三角形的有()A.4个B.3个C.2个D.1个答案为:B如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为()A.(1,1)B.(,1)C.(,)D.(1,)答案为:D如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以A,B为圆心,大于AB长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;②作直线MN交BC于D,连结AD.若AD=AC,∠B=25°,则∠C=()A.70°B.60°C.50°D.40°答案为:C如图,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK,若∠MKN=44°,则∠P的度数为()A.44°B.66°C.88°D.92°答案为:D如图,△ABC是等边三角形,点P是∠ABC的平分线BD上一点,PE⊥AB于点E,线段BP的垂直平分线交BC于点F,垂足为Q.若BF=2,则PE的长为()
A.2B.2C.D.3答案为:C在一张长为8cm,宽为6cm的矩形纸片上,要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合,其余的两个顶点都在矩形的边上),这个等腰三角形的剪法有()A.1种B.2种C.3种D.4种答案为:C如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F,过点O作OD⊥AC于点D,下列四个结论:①EF=BE+CF;②∠BOC=90°+∠A;③点O到△ABC各边的距离相等;④设OD=m,AE+AF=n,则S△AEF=mn.其中正确的结论是()A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④答案为:A如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上,若AE=,AD=,则两个三角形重叠部分的面积为()A.B.3-C.-1D.3-答案为:D如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为( )
A.6B.8C.10D.12答案为:C.如图所示,在△ABC中,内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P,BE=BC,PB与CE交于点H,PG∥AD交BC于F,交AB于G,连接CP.下列结论:①∠ACB=2∠APB;②S△PAC:S△PAB=AC:AB;③BP垂直平分CE;④∠PCF=∠CPF.其中,正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案为:D.二、填空题已知等腰三角形的一个外角为130°,则它的顶角的度数为__________.答案为:50°或80°如图,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=3cm,则BF=______cm.答案为:6如图,已知AG⊥BD,AF⊥CE,BD,CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线,若BF=2,ED=3,GC=4,则△ABC的周长为________.答案为:30如图,∠MON=30°,点B1在边OM上,且OB1=2,过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1,以A1B1为边在A1B1的右侧作等边三角形A1B1C1;过点C1作OM的垂线分别交OM,ON于点B2,A2,以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2;过点C2作OM的垂线分别交OM,ON于点B3,A3,以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3,…;按此规律进行下去,则△AnAn+1Cn的面积为__________________.(用含正整数n的代数式表示)
答案为:()2n-2×三、解答题如图,△ABC中,AB=AC,点E,F在边BC上,BE=CF,点D在AF的延长线上,AD=AC.(1)求证:△ABE≌△ACF;(2)若∠BAE=30°,则∠ADC=________°.(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠ACF.在△ABE和△ACF中,∵∴△ABE≌△ACF(SAS).(2)75已知:在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,且DE=DF.求证:△ABC是等边三角形.证明:∵DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,∴∠AED=∠CFD=90°.∵D为AC的中点,∴AD=DC.在Rt△ADE和Rt△CDF中,∵∴Rt△ADE≌Rt△CDF,∴∠A=∠C,∴BA=BC,
∵AB=AC,∴AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角形.数学课上,张老师举了下面的例题:例1.等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°)例2.等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:变式等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题;(2)解(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.解:(1)若∠A为顶角,则∠B=(180°-∠A)÷2=50°;若∠A为底角,∠B为顶角,则∠B=180°-2×80°=20°;若∠A为底角,∠B为底角,则∠B=80°.故∠B=50°或20°或80°.(2)分两种情况:①当90≤x<180时,∠A只能为顶角,∴∠B的度数只有一个;②当0<x<90时,若∠A为顶角,则∠B=()°;若∠A为底角,∠B为顶角,则∠B=(180-2x)°;若∠A为底角,∠B为底角,则∠B=x°.当≠180-2x且180-2x≠x且≠x,即x≠60时,∠B有三个不同的度数.综上所述,可知当0<x<90且x≠60时,∠B有三个不同的度数.四、综合题请认真阅读下面的数学小探究系列,完成所提出的问题.(1)探究1:如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连结CD.求证:△BCD的面积为a2;(提示:过点D作BC边上的高DE,可证△ABC≌△BDE)(2)探究2:如图2,在一般的Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连结CD.请用含a的式子表示△BCD的面积,并说明理由;(3)探究3:如图3,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连结CD.试探究用含a的式子表示△BCD的面积,要有探究过程.(1)证明:过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E,∴∠BED=∠ACB=90°.
由旋转知AB=BD,∠ABD=90°,∴∠ABC+∠DBE=90°.又∵∠A+∠ABC=90°,∴∠A=∠DBE.在△ABC和△BDE中,∵∴△ABC≌△BDE(AAS),∴DE=a=BC,∴S△BCD=BC·DE=a2.(2)解:过点D作DE⊥CB,交CB的延长线于点E,由(1)得∠BED=∠ACB=90°.∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,∴AB=BD,∠ABD=90°.∴∠ABC+∠DBE=90°.∵∠A+∠ABC=90°.∴∠A=∠DBE.在△ABC和△BDE中,∵∴△ABC≌△BDE(AAS),∴BC=DE=a.∵S△BCD=BC·DE,∴S△BCD=a2.(3)解:如图,过点A作AF⊥BC于点F,过点D作DE⊥CB,交CB的延长线于点E,∴∠AFB=∠E=90°,BF=BC=a.∴∠FAB+∠ABF=90°.∵∠ABD=90°,∴∠ABF+∠DBE=90°,∴∠FAB=∠EBD.∵线段BD是由线段AB旋转得到的,∴AB=BD.在△AFB和△BED中,∵
∴△AFB≌△BED,∴BF=DE=a.∵S△BCD=BC·DE,∴S△BCD=a·a=a2.∴△BCD的面积为a2.