用3.3.1两条直线的交点坐标

3.3.1两直线的交点坐标 名称已知条件标准方程适用范围点斜式斜截式两点式截距式一般式系数A,B,CAx+By+C=0所有直线k,y轴上截距bx轴上截距aY轴上截距b有斜率的直线有斜率的直线不垂直于x,y轴的直线不垂直于x,y轴，不过原点的直线复习回顾 几何元素及关系代数表示点A直线l点A在直线l上直线l1与l2的交点是AA的坐标满足方程A的坐标是方程组的解思考并回答下面的问题 用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立方程组求解。二元一次方程组的解与两条直线的位置关系。两直线平行两直线重合两直线相交无解无穷多解唯一解 A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（λ为任意常数）是过:直线l1:A1x+B1y+C1=0和直线l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。此直线系方程包括直线l1（当λ=0时），但不包括l2.一、直线的交点系方程 所以直线的方程为：解:(1)设经过二直线交点的直线方程为：例求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点，且满足下列条件的直线l的方程。(1)过点（2,1）；∵直线过点（2,1）， 解:(2)设经过二直线交点的直线方程为：所以直线的方程为：例求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点，且满足下列条件的直线l的方程。(2)和直线3x-4y+5=0垂直；∵所求直线和直线3x-4y+5=0垂直， 解:(3)设经过二直线交点的直线方程为：∴直线的方程为：例求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点，且满足下列条件的直线l的方程。(3)和直线2x-y+6=0平行.∵所求直线和直线2x-y+6=0平行 例2求过两直线3x＋y－5＝0与2x－3y＋4＝0的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．∴所求直线方程为x＋y－3＝0.①若直线不过原点，可设直线方程为x＋y＝a.∴a＝1＋2＝3，②若直线过原点，所求直线方程为y＝2x，即2x－y＝0.综上可知所求直线方程为x＋y－3＝0或2x－y＝0.解法1：解方程组得交点坐标为(1,2)， 解法2：设所求直线方程为3x＋y－5＋λ(2x－3y＋4)＝0，即(3＋2λ)x＋(1－3λ)y＋(－5＋4λ)＝0.例2求过两直线3x＋y－5＝0与2x－3y＋4＝0的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．∵所求直线在两坐标轴上截距相等，∴ 练习1.（2014•北京模拟）经过两条直线3x+4y-5=0和3x-4y-13=0的交点，且斜率为2的直线方程是（  ）A．2x+y-7=0B．2x-y-7=0C．2x+y+7=0D．2x-y+7=0B2.过2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点且与4x-3y-7=0平行的直线是（  ）A．3x+4y+17=0B．4x-3y-6=0C．3x+4y-17=0D．4x-3y+18=0B 二、两直线的交点在某象限的问题例若直线l：y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是.总结：两直线的交点在某象限的问题：第一步，解出交点坐标；第二步，根据交点所在的象限横纵坐标的符号列出不等式组；第三步，解不等式组得出参数的取值范围. 1.两直线ax+y-4=0与x-y-2=0相交于第一象限，则实数a的取值范围是（  ）A．-1＜a＜2B．a＞-1C．a＜2D．a＜-1或a＞2练习A 2.若直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是（  ）A．-6＜k＜-2B．-5＜k＜-3C．k＜-6D．k＞-2练习A 练习3.直线2x-my+4=0和2mx-3y-6=0的交点位于第二象限,则m的取值范围为. 练习B4.当0＜k＜时，直线l1：kx-y=k-1与直线l2：ky-x=2k的交点在（  ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 练习A4.（2014•日照）当k＞时,直线kx-y=k与直线ky+x=2k的交点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 三、直线恒过定点问题例求证：不论a取何值，直线（a+1）x-（2a+5）y-6=0必过一定点．方法总结：第一步，直线定点，将含参数的放在一起并提取参数；第二步，解方程组，得到恒过的定点坐标. 练习1.求证：不论a，b为何实数，直线（2a+b）x+（a+b）y+a-b=0均通过一定点，并求此定点坐标．证明：把a、b当作未知数，原方程即变为：（2x+y+1）a+（x+y-1）b=0显然若使a、b的系数同时为0时，则不论a，b为何实数，等式恒成立！此时：2x+y+1=0且x+y-1=0解得x=-2；y=3即直线位于点（-2，3）时，a、b的系数同时为0，不论a，b为何实数，等式恒成立！∴直线（2a+b）x+（a+b）y+a-b=0恒通过定点（-2，3）．故直线过定点，定点坐标为：（-2，3）． 练习1.求证：不论a，b为何实数，直线（2a+b）x+（a+b）y+a-b=0均通过一定点，并求此定点坐标．证明：把a、b当作未知数，原方程即变为：（2x+y+1）a+（x+y-1）b=0显然若使a、b的系数同时为0时，则不论a，b为何实数，等式恒成立！此时：2x+y+1=0且x+y-1=0解得x=-2；y=3即直线位于点（-2，3）时，a、b的系数同时为0，不论a，b为何实数，等式恒成立！∴直线（2a+b）x+（a+b）y+a-b=0恒通过定点（-2，3）．故直线过定点，定点坐标为：（-2，3）． 练习2.（2014•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx-y-m+3=0交于点P（x，y），求|PA|2+|PB|2的值。解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx-y-m+3=0即m（x-1）-y+3=0，经过点定点B（1，3），∵动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，|PA|2+|PB|2=|AB|2=10． 3.（2014•浙江模拟）若对任意的实数k，直线y-2=k（x+1）恒经过定点M，则M的坐标是（  ）A．（1，2）B．（1，-2）C．（-1，2）D．（-1，-2）C练习4.（2014•湖北模拟）若直线l1：y=k（x-4）与直线l2关于点（2，1）对称，则直线l2恒过定点（  ）A．（0，4）B．（0，2）C．（-2，4）D．（4，-2）解：由于直线l1：y=k（x-4）恒过定点（4，0），其关于点（2，1）对称的点为（0，2），由于直线l1：y=k（x-4）与直线l2关于点（2，1）对称，∴直线l2恒过定点（0，2）．故选BB 三、直线恒过某象限的问题例设直线l方程为（m+1）x+y+（2-m）=0，证明：l恒过第四象限．证明：由（m+1）x+y+（2-m）=0，可得（x-1）m+x+y+2=0，令x-1=0，x+y+2=0，∴x=1，y=-3，∴直线恒通过定点（1，-3），∵点（1，-3）在第四象限，∴l恒过第四象限．方法总结：直线恒过某象限，即直线恒过这个象限内的一个定点. 1.不论a为何实数，直线（a+1）x+（2-a）y+3=0恒过（  ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵（a+1）x+（2-a）y+3=0，∴a（x-y）+x+2y+3=0，令x-y=0、x+2y+3=0，解得：x=-1，y=-1，∴直线（a+1）x+（2-a）y+3=0恒过（-1，-1）点，由（-1，-1）点在第三象限内，故直线（a+1）x+（2-a）y+3=0恒过第三象限，故选C.练习 四、直线不过某象限，求参数的取值范围问题例已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R），若直线l不经过第四象限，求k的取值范围．方法总结：直线不过某象限，求参数的取值范围：第一步，将直线方程化为斜截式；第二步，根据斜率和截距列不等式组，第三步，解不等式组，求出参数的取值范围.解： 2.设直线l的方程为（a+1）x+y+2-a=0（a∈R），若直线l不经过第二象限，则实数a的取值范围．练习（-∞，-1]1.设直线l的方程为：y=kx+b；当k＜0，b＜0时，直线l不通过（  ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限A3.已知直线y=(m-1)x+(m-2)过第一、三、四象限，则m的取值范围是．1＜m＜24.设直线AB的方程为（a-3）x+y+2-a=0，若直线AB不经过第二象限，则a的取值范围为（  ）A．a≤1B．a≤3C．a≤2D．a＜3C 练习5.已知直线l：（m-1）x+2my+2=0（1）求证直线l必经过第四象限；（2）若直线l不过第三象限，求实数m的取值范围；（3）求直线l在两坐标轴上截距相等时的直线方程． 练习5.已知直线l：（m-1）x+2my+2=0（1）求证直线l必经过第四象限；（2）若直线l不过第三象限，求实数m的取值范围；（3）求直线l在两坐标轴上截距相等时的直线方程． 练习5.已知直线l：（m-1）x+2my+2=0（1）求证直线l必经过第四象限；（2）若直线l不过第三象限，求实数m的取值范围；（3）求直线l在两坐标轴上截距相等时的直线方程．