3.3.1两条直线的交点坐标【教学目标】1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，2.当两条直线相交时，会求交点坐标.3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.【重点难点】教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点.教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.【教学过程】导入新课问题1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.问题2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题.新知探究提出问题①已知两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如何判断这两条直线的关系？②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？③解下列方程组(由学生完成)：(ⅰ);(ⅱ);(ⅲ).如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标.讨论结果：①教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看下表，并填空.几何元素及关系代数表示点AA(a，b)直线ll：Ax+By+C=0点A在直线上直线l1与l2的交点A②学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系.设两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,11
如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组是否有唯一解.(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l1与l2相交;(ⅱ)若二元一次方程组无解，则l1与l2平行;(ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l1与l2重合.即直线l1、l2联立得方程组(代数问题)(几何问题)③引导学生观察三组方程对应系数比的特点：(ⅰ)≠;(ⅱ);(ⅲ)≠.一般地，对于直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有方程组.注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用.(b)如果A1,A2,B1,B2,C1,C2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定.④(a)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.(b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.(c)结论：方程表示经过这两条直线l1与l2的交点的直线的集合.应用示例例1求下列两直线的交点坐标,l1：3x+4y-2=0,l2：2x+y+2=0.解:解方程组得x=-2，y=2，所以l1与l2的交点坐标为M(-2，2).变式训练求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.解:解方程组x-2y+2=0,2x-y-2=0,得x=2,11
y=2,所以l1与l2的交点是(2,2).设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x.点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式.例2判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.(1)l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0.(2)l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0.(3)l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0.活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评.解:(1)解方程组得所以l1与l2相交,交点是(,).(2)解方程组①×2-②得9=0,矛盾,方程组无解,所以两直线无公共点,l1∥l2.(3)解方程组①×2得6x+8y-10=0.因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l1与l2重合.变式训练判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.(1)l1:7x+2y-1=0,l2:14x+4y-2=0.(2)l1:(-)x+y=7,l2:x+(+)y-6=0.(3)l1:3x+5y-1=0,l2:4x+3y=5.答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交点坐标为(2，－1).例3求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.思路解析：根据本题的条件，一种思路是先求出交点坐标，再设所求直线的点斜式方程求出所要求的直线方程；另一种思路是利用直线系(平行系或过定点系)直接设出方程，根据条件求未知量，得出所求直线的方程.解：(方法一)由方程组得11
∵直线l和直线3x+y-1=0平行，∴直线l的斜率k=-3.∴根据点斜式有y-()=-3［x-()］，即所求直线方程为15x+5y+16=0.(方法二)∵直线l过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，∴设直线l的方程为2x-3y-3+λ(x+y+2)=0，即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0.∵直线l与直线3x+y-1=0平行，∴.解得λ=.从而所求直线方程为15x+5y+16=0.点评：考查熟练求解直线方程，注意应用直线系快速简洁解决问题。变式训练求经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交点，且与直线2x-y-1=0垂直的直线方程例4求证：不论m取什么实数，直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标.思路解析：题目所给的直线方程的系数含有字母m，给m任何一个实数值，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以m为参数的直线系方程.要证明这个直线系中的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出m的两个特殊值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点.另一个思路是：由于方程对任意的m都成立，那么就以m为未知数，整理为关于m的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标.解：解法一：对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0，令m=0，得x-3y-11=0；令m=1，得x+4y+10=0.解方程组得两条直线的交点为(2，-3).将点(2，-3)代入已知直线方程左边，得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m+11=0.这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2，-3).解法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.由于m的取值的任意性，有解得所以所给直线不论m取什么实数，均经过定点(2，-3)点评含参直线过定点问题的解题思路有二：一是曲线过定点，即与参数无关，则参数的同次幂的系数为0，从而求出定点；二是分别令参数为两个特殊值，得方程组，求出点的坐标，代入原方程满足，则此点为所求定点变式训练当a为任意实数时，直线(a-1)x-y+2a+1=0经过的定点是（）A.(2,3)B.(-2,3)C.(1,)D.(-2,0)11
解析：直线方程可化为a(x+2)-x-y+1=0,由定点（-2，3）.答案：B课堂小结本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程系数比的关系与直线位置关系的联系.培养了同学们的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想.通过本节学习，要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.当两条直线相交时，会求交点坐标.注意语言表述能力的训练.通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点.当堂检测导学案课内探究部分【板书设计】一、两条直线的交点坐标二、例题例1变式1例2变式2【作业布置】课本习题3.3A组1、2、3,选做4题.及导学案课后练习与提高3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2课前预习学案一、预习目标根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点二、预习内容1、阅读课本102-104，找出疑惑之处。同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中疑惑点疑惑内容11
2、知识概览①两直线相交,则交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是两直线方程的解,若两直线的方程组成的方程组只有一个公共解,则以这个解为坐标的点必是两直线的交点.②两直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0的交点情况,取决于方程组的解的情况.若方程组有唯一解,则两直线相交.若方程组无解,则两直线平行.若方程组有无数个解,则两直线重合.3、思考当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形？图形有何特点？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1.掌握判断两条直线相交的方法，会通过解方程组求两条直线的交点坐标；11
1.了解过两条直线交点的直线系方程的问题.教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点.教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.二、学习过程自主学习【知识点一】、两条直线的交点如果两条直线相交，则交点坐标分别适合两条直线的方程，即（);把两条直线的方程组成方程组，若方程组有()解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组()，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有()，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合..【知识点二】、直线系方程具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程.方程的特点是除含坐标变量x、y以外，还含有待定系数(也称参变量).(1)共点直线系方程：经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，其中λ是待定系数.在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x+B2y+C2=0，因此它不能表示直线l2.(2)平行直线系：与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是()，λ是参变量.(3)垂直直线系方程：与Ax+By+C=0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是()(4)特殊平行线与过定点(x0，y0)的直线系：当斜率k一定而m变动时，()表示斜率为k的平行线系，()表示过定点(x0，y0)的直线系(不含直线x=x0).问题设两条直线的方程为l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0，如果这两条直线相交，你能分析它们的系数满足什么关系吗？探究:我们可以先解由两直线方程联立的方程组①×B2-②×B1,得(A1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0.当A1B2-A2B1≠0时，得x=；再由①×A2-②×A1，当A1B2-A2B1≠0时，可得y=.因此，当A1B2-A2B1≠0时，方程组有唯一一组解x、y.这时两条直线相交，交点的坐标就是(x，y).因此这两条直线相交时，系数满足的关系为A1B2-A2B1≠0.精讲点拨例1求下列两直线的交点坐标,l1：3x+4y-2=0,l2：2x+y+2=0.11
变式训练求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.例2判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.(1)l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0.(2)l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0.(3)l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0..变式训练判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.(1)l1:7x+2y-1=0,l2:14x+4y-2=0.(2)l1:(-)x+y=7,l2:x+(+)y-6=0.(3)l1:3x+5y-1=0,l2:4x+3y=5.问题当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形？图形有何特点？例3求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.变式训练求经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交点，且与直线2x-y-1=0垂直的直线方程.例4求证：不论m取什么实数，直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标..变式训练当a为任意实数时，直线(a-1)x-y+2a+1=0经过的定点是（）A.(2,3)B.(-2,3)11
C.(1,)D.(-2,0)反思总结1.两条直线的交点。直线相交的问题转化为求方程组的解的问题,且解的个数决定两条直线的位置关系.两直线的交点坐标对应的就是两直线方程所组成方程组的解.2.直线系方程。如果在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条件待定时,可选用直线系方程来求解.当堂检测1.两条直线l1:2x+3y-m=0与l2:x-my+12=0的交点在y轴上，那么m的值为()A.-24B.6C.±6D.以上答案均不对2.无论k为何值，直线(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都过一个定点，则定点坐标为()A.(1,3)B.(-1,3)C.(3,1)D.(3,-1)3.求经过两条直线l1:x+y-4=0和l2:x-y+2=0的交点，且与直线2x-y-1=0平行直线方程.参考答案1.解析:l1:2x+3y-m=0在y轴上的截距为，l2:x-my+12=0在y轴上的截距为，根据两直线的交点在y轴上得m=±6.答案：C2.思路解析:直线方程展开按是否含参数k合并同类项,得(2x+y-5)+k(x-y-4)=0，由直线系方程,知此直线过两直线的交点，即为解得交点为(3,-1).3.解析:由∴l1与l2的交点为（1，3）.(1)解法一：设与直线2x-y-1=0平行的直线为2x-y+c=0，则2-3+c=0，∴c=1.∴所求直线方程为2x-y+1=0.解法二：∵所求直线的斜率k=2，且经过点（1，3），∴所求直线方程为y-3=2(x-1)，即2x-y+1=0.课后巩固练习与提高知能训练课本本节练习1、2.11
拓展提升1.已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足为(1,p)，则m-n+p为（）A.24B.20C.0D.-42.已知点P(-1,0),Q(1,0)，直线y=-2x+b与线段PQ相交，则b的取值范围是（）A.［-2,2］B.［-1,1］C.［-,］D.［0,2］3.三条直线x+y=2、x-y=0、x+ay=3构成三角形，求a的取值范围.4.已知两直线l1:x+my+6=0，l2：(m－2)x＋3y＋2m=0，当m为何值时，直线l1与l2：①相交；②平行；③重合；④垂直.5.三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0构成三角形的条件是什么？(2)由可得直线x+y=2和直线x-y=0的交点坐标为(1，1).若三线共点，则点(1，1)在直线x+ay=3上，所以有1+a=3.解得a=2.综上,可知a满足的条件为a{-1,1,2}.4.解:联立方程组(1)当m=0时，则l1：x＋6=0，l2：－2x＋3y=0,∴l1、l2相交.当m=2时，则l1：x＋2y＋6=0，l2：3y＋4=0,∴l1、l2相交.11
(2)当m≠0且m≠2时,,,.若=m=-1或m=3;若=m=3.∴当m≠-1且m≠3时(≠),方程组有唯一解,l1、l2相交.当m=-1时(=≠),方程组无解,l1与l2平行.当m=3时(==),方程组有无数解,l1与l2重合.(3)当m-3+3m=0即m=时,l1与l2垂直(∵l1⊥l2A1A2+B1B2=0).点评：要注意培养学生分类讨论的思想.5.解析：三直线构成三角形，则需任意两条直线都相交，且不能相交于一点.注意不要忽略三线交于同一点的情况.所以可以从正反两个方向来思考.解法一:任两条直线都相交，则,,故a≠±1.又有三条直线不交于同一点，故其中两条直线的交点(-1-a,1)不在直线ax+y+1=0上，即a(-1-a)+1+1≠0,a2+a-2≠0，(a+2)(a-1)≠0,∴a≠-2,a≠1.综合上述结果，三条直线构成三角形的条件是a≠±1,a≠-2.解法二:因为三条直线能构成三角形,所以三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点.可以把不能构成三角形的情况排除掉.若三条直线交于同一点，则其中两条直线的交点(-1-a,1)在直线ax+y+1=0上，∴a(-a-1)+1+1=0,∴a=1或a=-2.若l1∥l2，则有,a=1；若l1∥l3，则有,a=1；若l2∥l3，则有,a=±1.所以若三条直线构成三角形，则需a≠±1,a≠-2.11
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