3.3.1两条直线的交点坐标疱丁巧解牛知识·巧学一、两条直线的交点如果两条直线相交，则交点坐标分别适合两条直线的方程，即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解.把两条直线的方程组成方程组，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数个解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.要点提示直线相交的问题转化为求方程组的解的问题,且解的个数决定两条直线的位置关系.两直线的交点坐标对应的就是两直线方程所组成方程组的解.二、直线系方程具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程.方程的特点是除含坐标变量x、y以外，还含有待定系数(也称参变量).(1)共点直线系方程：经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，其中λ是待定系数.在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A2x+B2y+C2=0，因此它不能表示直线l2.(2)平行直线系：与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+λ=0(λ≠C)，λ是参变量.(3)垂直直线系方程：与Ax+By+C=0(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+λ=0.(4)特殊平行线与过定点(x0，y0)的直线系：当斜率k一定而m变动时，y=kx+m表示斜率为k的平行线系，y-y0=k(x-x0)表示过定点(x0，y0)的直线系(不含直线x=x0).要点提示如果在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条件待定时,可选用直线系方程来求解.直线系是直线和方程的理论发展,是数学符号语言中一种有用的工具,是一种很有用的解题技巧,应注意掌握和应用.问题·探究问题1设两条直线的方程为l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0，如果这两条直线相交，你能分析它们的系数满足什么关系吗？探究:我们可以先解由两直线方程联立的方程组①×B2-②×B1,得(A1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0.当A1B2-A2B1≠0时，得x=；再由①×A2-②×A1，当A1B2-A2B1≠0时，可得y=.因此，当A1B2-A2B1≠0时，方程组有唯一一组解x、y.这时两条直线相交，交点的坐标就是(x，y).因此这两条直线相交时，系数满足的关系为A1B2-A2B1≠0.问题2请你探究一下三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0构成三角形的条件是什么？探究:
三直线构成三角形，则需任意两条直线都相交，且不能相交于一点.注意不要忽略三线交于同一点的情况.所以可以从正反两个方向来思考.解法一:任两条直线都相交，则,,故a≠±1.又有三条直线不交于同一点，故其中两条直线的交点(-1-a,1)不在直线ax+y+1=0上，即a(-1-a)+1+1≠0,a2+a-2≠0，(a+2)(a-1)≠0,∴a≠-2,a≠1.综合上述结果，三条直线构成三角形的条件是a≠±1,a≠-2.解法二:因为三条直线能构成三角形,所以三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点.可以把不能构成三角形的情况排除掉.若三条直线交于同一点，则其中两条直线的交点(-1-a,1)在直线ax+y+1=0上，∴a(-a-1)+1+1=0,∴a=1或a=-2.若l1∥l2，则有,a=1；若l1∥l3，则有,a=1；若l2∥l3，则有,a=±1.所以若三条直线构成三角形，则需a≠±1,a≠-2.典题·热题例1分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点.(1)l1：2x-y=7和l2：3x+2y-7=0;(2)l1：2x-6y+4=0和l2：4x-12y+8=0;(3)l1：4x+2y+4=0和l2：y=-2x+3.思路解析：判定两直线的位置关系，可以转化为讨论方程组解的情况.若两直线方程组成的方程组有且仅有一组解时，说明两直线相交；若方程组无解，说明两直线平行；若方程组有无数多组解，则说明两直线重合.解：(1)方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，-1).(2)方程组有无数组解，这表明直线l1和l2重合.(3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.深化升华根据两直线方程判断两直线的位置关系时，当已知形式是直线的斜截式方程时，利用斜率以及纵截距来判定两直线是否相交、平行或重合更方便.当已知直线的一般式方程时，若系数中含有字母，因为直线斜率是否存在不清楚，若再使用斜率判定，则要进行分类讨论，但用一般式的系数关系来判断则不用讨论，显得较为简单易行.例2已知两直线l1：x+my+6=0，l2：(m-2)x+3y+2m=0，当m为何值时，直线l1与l2(1)平行;(2)重合;(3)相交？思路解析：对于平行及重合的判断，可以通过斜率与截距来分析.而对于l1与l2
相交的情况，只能通过解方程组来寻求规律.解：当m=0时，l1：x+6=0，l2：2x-3y=0，此时l1与l2相交.当m≠0时，l1：y=，l2：y=.(1)若l1∥l2，则解得m=-1(m=3舍去).(2)若l1与l2重合，则，解得m=3.故m=-1时,l1∥l2;m=3时,l1与l2重合.(3)由l1的方程得x=-my-6，代入l2的方程得(m-2)(-my-6)+3y+2m=0，即(m2-2m-3)y=12-4m.显然，m2-2m-3=0时无解，只有当m2-2m-3≠0，即m≠-1且m≠3时，方程才有解，且是唯一解，故只有当m≠-1且m≠3时两直线相交.深化升华具体的两条直线的位置关系的判断方法：实际上，对于两条直线平行，可以将两直线的方程分别化为斜截式，通过斜率相等，纵截距不相等来判断；对于两条直线重合的情况，实际上是两条直线的方程完全相同，只是化简的程度不同，此时，可通过对应项的系数的比值相等来判断.例3求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.思路解析：根据本题的条件，一种思路是先求出交点坐标，再设所求直线的点斜式方程求出所要求的直线方程；另一种思路是利用直线系(平行系或过定点系)直接设出方程，根据条件求未知量，得出所求直线的方程.解：(方法一)由方程组得∵直线l和直线3x+y-1=0平行，∴直线l的斜率k=-3.∴根据点斜式有y-()=-3［x-()］，即所求直线方程为15x+5y+16=0.(方法二)∵直线l过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，∴设直线l的方程为2x-3y-3+λ(x+y+2)=0，即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0.∵直线l与直线3x+y-1=0平行，∴.解得λ=.从而所求直线方程为15x+5y+16=0.拓展延伸
直线系是指具有某一共同特征的直线的集合.表示直线系的方程叫做直线系方程.除了本题的共点直线系外，还有过定点的直线系、平行直线系和垂直直线系等.对于求与已知直线有着一定联系的直线的方程时，可以通过特定的直线系方程利用待定系数法来求解.注意要根据题中条件灵活地选择方程进行求解.变式：求与直线2x+3y+1=0垂直，且过点P(1，-1)的直线l的方程.思路解析：本题可以先求得直线的斜率，应用直线的点斜式方程求得.也可以由垂直直线系方程设出直线的方程求待定的系数.解：设与直线2x+3y+1=0垂直的直线l方程为3x-2y+c=0.因为点P(1，-1)在直线l上，所以3×1-2×(-1)+c=0，解之,得c=-5.所以所求直线方程为3x-2y-5=0.例4求证：不论m取什么实数，直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标.思路解析：题目所给的直线方程的系数含有字母m，给m任何一个实数值，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以m为参数的直线系方程.要证明这个直线系中的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出m的两个特殊值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点.另一个思路是：由于方程对任意的m都成立，那么就以m为未知数，整理为关于m的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标.解：解法一：对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0，令m=0，得x-3y-11=0；令m=1，得x+4y+10=0.解方程组得两条直线的交点为(2，-3).将点(2，-3)代入已知直线方程左边，得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m+11=0.这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2，-3).解法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0.由于m的取值的任意性，有解得所以所给直线不论m取什么实数，均经过定点(2，-3).深化升华含参直线过定点问题的解题思路有二：一是曲线过定点，即与参数无关，则参数的同次幂的系数为0，从而求出定点；二是分别令参数为两个特殊值，得方程组，求出点的坐标，代入原方程满足，则此点为所求定点.
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