优秀教案25-两条直线的交点坐标3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点处标教材分析木节内容是数学必修2第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式的第一课时.木节课是在学习了二元一次方程组的解、直线的位置关系和直线的方程后进行的，是对前面学习内容的延续与深入，也是后继学习距离公式、闘锥曲线以及曲线与曲线的交点的基础.本节课通过利用代数的方法來解决两条直线相交的交点坐标问题，渗透数形结合、坐标法的思想，通过探究过定点的直线系的方程问题进一步培养学仝转化化归的思想.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主耍讲解两条直线的位置关系、两条和交直线的交点处标以及二元一次方程纽的解与两条直线位置的对应关系.教学冃标重点：能判断两条直线的位置关系，会求两直线的交点处标.难点：二元一次方程组的解-与两条直线的位置的对应关系，过两条直线的交点的直线系方程.知识点：两条肓线的交点的求法，二元一次方程组的解与两条肓线的位置的对应关系，过两条直线的交点的直线系方程.能力点：通过学习两条直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法，培养学半的数形结合能力，通过研究两条直线的位置与它们对应方程组的解的关系，进一步渗透坐标法及转化化归的思想.教育点：通过两直线交点与二元一次方程组的解的关系，认识事物Z间的内在联系，能用辩证的观点看问题；在探究和解决问题的过程中，培养学e细心观察、勇于探索、互和合作的精神,
自主探究点：二元i次方程组的解与两条肓线的位置对应关系的探究与发现，过两条宜线的交点的直线系方程问题.考试点：求两直线的交点坐标，判断两条直线的位置关系，.易错易混点：利用肓线系方程求解玄线方程、求未知参.拓展点：探究直线恒过定点问题，探究对称与最值问题.教具准备课件、几何画板、三角板课堂模式学案导学1一、引入新课知识冋顾：（教师出示多媒体课件并提出问题）问题1.直线的一般式方程与二元一次方程之间有什么关系？问题2.如何求二元一次方程组的解？二元一次方程组的解有几种情况？问题3：直角维标系中两条直线的位置关系冇几种？【师生活动】师：展示课件、提出问题.生：思考、讨论并回答问题.师：每一个关于x,y的二元一次方程都表示条直线，而二元一次方程组的解有三种情况，肓角坐标系屮两条肓线的位置关系也有三种，那么试想两条玄线的位置关系与对应二元一次方程组解的情况有关系吗？如果有，那么乂有怎样的对应关系呢？【设计意图】复习巩固，以旧带新；简单的知识回顾，为学生自主探究铺平道路，唤起学生的记忆，引发学生探究新知识的的学习兴趣和学习热情，并自然导入新课.二、探究新知探究1：两条直线的交点坐标
问题1:教师引导学生从点与玄线的位置关系入手完成下表，并讨论直线上的点与对应方程AxByC0的解有怎样的关系？生：独立思考，小组交流，完善表格.师：因为直线11与12的交点是A,故点A在直线11,也在直线12.2AlxOBlyOCl0,所以点A坐标（x0,y0）既满足11的方程，又满足直线12的方程，即：AxByC0.20220问题2：由上述问题可知，两条直线的交点坐标满足由两条直线方程所组成的方程组.那么，如呆两条直线ll:AlxBlyCl0,12:A2xB2yC20相交，如何求这两条直线的交点坐标？生：交流，讨论.师生共同总结：要求两条直线的交点坐标，只需写岀这两条直线的方程，然后联立求解.【设计意图】设置问题串，以旧带新，通过对熟悉知识点的温故讨论，引发学生探究新知的兴趣，培养学生发现、归纳、概括数学问题的能力.探究2：两条直线的位置关系师：求解下列方程组，判断对应两条直线是否相交（教材例2变式）.（1）xy0,3x3y100.（2）3xy40,6x2y10.3x4y50,6x8y100.（3）生：自主完成练习，并请学生到前［tri板演解题过程.（1）方程组有唯一解（,），所以直线ll：xy0与12:3x3y100即为相交，交点（,）.（2）方程组无解.（3）两个方程可化为同一个方程，所以方程组有无数解.师：（1）中方程组有唯一解对应直线11与12相交；（2）屮方程组无解，两个方程就没有公共解，那么方程对应的两条直线有交点吗？它们具有怎样的位置关系？
生：没有.两条玄线平行.师：（3）中方程组有无数解，两条直线具有怎样的位置关系？生：两条直线重介.【设计意图】通过动手操作，直观感知，深入理解方程组的解与直线的位置Z间的关系.问题：两条直线方程所组成的二元一•次方程组的解的个数与直线的位置关系有什么联系？已知11：AlxBlyCl0,12：A2xB2yC20,553355333AlxBlyCl0将方程联立，得，对于这个方程组解的情况分三种讨论：AxByC0222（1）若方程组有唯一解，则11、12相交，有唯一的公共点；（2）若方程组无解，则11、12没有公共点，即平行；（3）若方程组冇无数多个解，则11、12冇无数多个公共点，即重合.【设计意图】通过学生独立思考、师生共同总结加强对知识的理解；由具体问题的解通过思考、感悟得到一般性结论，循序渐进，符介学生的认知规律，便于理解记忆；在问题探究的过程屮，让学生体会数形结合的思想.三、理解新知师：如何求解两条直线的交点？如何判断两条直线的位置关系？生：写出两条直线方程，联立求解：方程组冇唯一解两直线相交方程组无解两直线平行方程组有无穷多解两直线重合师：如何根据两直线的方程的系数Z间的关系來判定两直线的位置关系呢？请人家完成下列表格：Byll:AlxlCl0(A,B,C0)12:A2xB2vC20111,
(A2,B2,C20)如果A1,B1,C1,A2,B2,C2中有等于零的情况，方程较简单，两条直线的位置关系容易确定.【设计意图】理解运用两条直线的交点个数判肚两直线的位置关系与用斜率、截距判泄两直线位置关系的一致性.四、运用新知例1求下列两条百线的交点坐标：4ll:3x4v2012:4x2v20生：分析解题思路，独立完成解题步骤.师：板书解题过程，引导学生校对口己的答案.3x4y20,解：解方程组4x2y20.得：x2,y2.所以11与12的交点是赃2,2).儿何画板作图验证.［设计惠图］巩固所学知识，提高学生分析问题、解决的方法；教师板书示范，规范解题步骤.例2判断下列各对直线的位置关系.如果和交，求出交点的坐标：(1)ll:xy0,12:3x3y100；(2)ll:3xy40,12:6x2y10；(3)ll:3x4y50,12:6x8y100.学生自主完成例2,并请学生到前而板演解题过程.教师引导学生共同批改学生答案，探讨解题屮出现的问题和解题的关键点，并校对自C的答案.
［设计意图］进一步巩固两肓线位置关系与肓线组成的方程组解的个数的对应关系；学生板书便于及吋发现问题、解决问题，并规范学生的解题步骤；通过对答案的批改、校对，培养学生反思、总结的习惯.例3(补充)求经过两条直线x2y40和xy20的交点，且和直线2xy60平行的直线1的方程.分析：由直线1与直线2xy60平行，对以求得直线1的斜率；乂因为直线1经过两条直线x2y40和xy20的交点，所以求出两直线的交点即可由点斜式求得直线1的方程.解法一：直线2xy60的斜率为2,且直线1-与直线2xy60平行，直线1的斜率为：kl2.x2y40,x0,解方程组得xy20.y2.・直线x2y40和xy20的交点处标为M(0,2)直线1的方程为y22(x0),即2xy20.解法二：设与宜线2xy60平行的直线1的方程为2xyC0(C6)解方程组x2y40,x0,得xy20.y2..直线x2y40和xy20的交点坐标为M(0,2),直线1经过两条直线x2y40和xy20的交点M(0,2)202C0，即C2.直线1的方程为2xy20.点评：解法•一中求直线方程的方法是通法，须掌握•解法二小利用了平行直线的设法:与直线
［设计意图］通过对问题的分析、解决过程，培养学生综合分析问题和转化化归的能力；通过方法探究，i题多解，发散思维，有益于沟通知识和方法，开拓解题思路.【拓展提升】问题：当变化时，X2y4(xy2)0表示什么图形呢？图形冇何特点？师：方程x2y4(xy2)0屮的未知数是什么？可取什么值？生：未知数是x,y.对取任意实数，是常数.师：是关于x,y的几元几次方程？生：二元一次方程.师：这个二元一次方程x2y4(xy2)0表示什么图形？生：表示直线.6师：这个二元一次方程x2y4(xy2)0能够表示多少条直线？生：无数条，一个的值就对应一条直线.师：这些直线冇什么共同特点吗？如何研究呢？既然一个的值就对应一条直线，那么能否通过给定的特殊值进行研究呢？例如収1,0,1,2,,,,.生：计算探究1时，方程为：3y60,0时，方程为：x2y40,(Xy2)0,即2xy201时，方程为：X2y4(Xy2)0,即x02时，方程为：x2y42作出图形町知，所有直线都过一个定点，该点为M(0,2),即为例3中两条直线x2y40和xy20的交点.由此猜测：方程x2y4点.(xy2)0表示的直线都经过M(0,2)动画演示，验证猜想.
师：方程x2y4(xy2)0能表示xy20这条直线吗？生：思考回答.结论：方程x2y4(xy2)0表示除直线xy20以外冃经过两条直线x2y40和xy20交点的直线.师：像这种具有某种共同性质的所有玄线的集合，称为玄线系；它的方程叫肓线系方程.总结提高：若ll：AlxBlyCl0、12:A2xB2yC20相交，则方程(AlxBlyCl)(A2xB2yC2)0表示过11与12交点的直线系(不包括直线12).应用：(例3另解)解：设经过两条直线x2y40和xy20的交点的直线1方程为x2y4(xy2)0,则(1)x(2)y420.肓线1与直线2xy60平行，直线1的方程为2xy20.12,即1.27五、课童小结教师提问：木节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学牛总结：1・知识点：两条直线的交点的求法；二元一次方稈组的解与两条直线的位置的对应关系；2.思想：由特殊到一•般的思想；转化化归的思想；数形结介的思想.教师强调：过两条辽线交点的亡线系方程.
［设计意图］通过学生总结，培养学生的口头表达能力、归纳概括能力，教会学生学习方法，让学生再次回顾本节课的活动过程、重点、难点所在，对所学知识加以思考延伸.使学生对本节课所学知识结构有一个清晰的认识，形成知识体系.六、布置作业1.书面作业必做题：P109A组1,3,4,B组1.选做题：1.两直线ykx2k1和x2y40的交点在第四象限，则k的取值范闱是()A.(6,2)B.(1111C.(,)D.(,),0)62622.过点P(0,1)作直线m,使它被两条直线11:x3y100,12:2xy80所截得线段以P为中点，求直线m的方程.答案：1.C；2.x4y402.课外思考思考1：求证：不论取什么实数，直线(2l)x(3)y(3)0都过一个定点，并求这个定点坐标.思考2：已知直线l:3xy10及点A(4,1),B(0,4),C(2,0),(1)试在1上求求一点P,使|PA|—+|PC|最小;(2))试在1上求求一点Q,使|QA|—|QB|最大.［设计意图］书而作业的布置，以不同层次出现，对不同层次学生有不同的要求，体现了分层教学的教学思想.设置“必做题”是为了进一步巩固所学，加强学生学习的自信心；课外思考探究活动进一步激励学生8学习的热情，培养学生数形结合的能力.七、教后反思本节课在设计上注重课堂的开放性，在学习过程中让学生主动参与，，使学生在参与活动的过程屮感受“数”与“形”的相互转换，深化坐标法的应用.通过讨论两巴线方程联立方程组的解来研究两直线的交点问题，培养了学生的数形结合与运动转化的数学思想.在探究两直线的位置关系与对应二元一次方程组解的个数问题的过程中，把学习的主动权还给学生，讣学生自主经历发现问题、研究问题、解决问题的学习过程，使数学课堂生动起来.通过探究讨论，动画展示，加深对解析法的理解，培养学生勇于探索的科学精神.
在肓线系的探究过程，还是老师的启发过多、讲的多，可以尝试让学生分析讲解，老师补充完善，这样更有益于学生学习兴趣培养和对知识的理解.八、板书设计
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