高一数学两条直线的交点坐标

3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离 一、新课引入 (一）新课引入：二元一次方程组的解有三种不同情况（唯一解，无解,无穷多解），同时在直角坐标系中两条直线的位置关系也有三种情况（相交，平行，重合），下面我们通过二元一次方程组解的情况来讨论直角坐标系中两直线的位置关系。 二、两直线的交点：设两直线的方程是：L1：A1x+B1y+C1=0L2：A2x+B2y+C2=0因此，两条直线是否有交点，就要看这两条直线的方程所组成的方程组：A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0是否有唯一解。如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两方程的唯一公共解；反过来，如果这两二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线L1和L2的交点。（二）讲解新课： ïîïíìÛïîïíì平行重合相交无解无穷多解唯一解解方程组直线21212121,,,,llllllll知识梳理问题1：方程组解的情况与方程组所表示的两条直线的位置关系有何对应关系？ 例1、求下列各对直线的交点，并画图：（1）l1：2x+3y=12，l2：x-2y=4。（36/7，4/7）解：解方程组2x+3y=12x-2y=4。得x=36/7y=4/7所以交点从标为（36/7，4/7） 解：解方程组x=23x+2y-12=0得x=2y=3所以交点从标为（2，3）（2）l1：x=2，l2：3x+2y-12=0。（2，3）例1、求下列各对直线的交点，并画图： 例2：求下列两条直线的交点：l1：3x+4y－2=0；l2：2x+y+2=0.例3：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程:l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.解：解方程组3x+4y－2=02x+y+2=0∴l1与l2的交点是M（-2，2）解：解方程组x－2y+2=02x－y－2=0∴l1与l2的交点是（2，2）设经过原点的直线方程为y=kx把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为y=xx=－2y=2得x=2y=2得 例4：求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点M的坐标，并证明方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为任意常数）表示过M点的所有直线（不包括直线2x－3y－5=0）。证明：联立方程3x+2y－1=02x－3y－5=0oxy(1,-1)M解得：x=1y=-1代入：x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0得0+λ·0=0∴M点在直线上A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0是过直A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。M（1，-1）即 例4、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：（1）l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0;（2）l1:3x-y+4=0,l2:6x-2y=0;（3）l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0; 例5：求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点，且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程。解法一：解方程组x+2y－1=0，2x－y－7=0得x=3y=－1∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）又∵直线x+3y－5=0的斜率是－1/3∴所求直线的斜率是3所求直线方程为y+1=3（x－3）即3x－y－10=0解法二：所求直线在直线系2x－y－7+λ（x+2y－1）=0中经整理，可得（2+λ）x+（2λ－1）y－λ－7=0∴－————=32+λ2λ－1解得λ=1/7因此，所求直线方程为3x－y－10=0 ㈢巩固： ㈢巩固：2.两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y轴上，则m的值是（A）0（B）－24（C）±6（D）以上都不对3.若直线kx－y+1=0和x－ky=0相交，且交点在第二象限，则k的取值范围是（A）（-1，0）（B）（0，1]（C）（0，1）（D）（1，＋∞）4.若两直线（3－a）x+4y=4+3a与2x+（5－a）y=7平行，则a的值是（A）1或7（B）7（C）1（D）以上都错 5求经过原点及两条直线L1:x-2y+2=0,L2:2x-y-2=0的交点的直线的方程. 6当为何值时，直线过直线与的交点?k3+=kxy5+=xy012=+-yx 7、两条直线y=kx+2k+1和x+2y-4=0,的交点在第四象限,则K的取值范围是 ïîïíìÛïîïíì平行重合相交无解无穷多解唯一解解方程组直线21212121,,,,llllllll问题1：方程组解的情况与方程组所表示的两条直线的位置关系有何对应关系？小结 ②利用二元一次方程组的解讨论平面上两条直线的位置关系已知方程组A1x+B1y+C1=0（1）A2x+B2y+C2=0（2）当A1，A2，B1，B2全不为零时（1）×B2－（2）×B1得（A1B2－A2B1）x=B1C2－B2C1讨论：⒈当A1B2－A2B1≠0时，方程组有唯一解x=——————B1C2－B2C1A1B2－A2B1y=——————A1B2－A2B1C1A2－C2A1⒉当A1B2－A2B1=0，B1C2－B2C1≠0时，方程组无解⒊当A1B2－A2B1=0，B1C2－B2C1＝0时，方程组有无穷多解。 上述方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的什么位置关系？当——≠——时，两条直线相交，交点坐标为A1A2B1B2当——=——≠——时，两直线平行；A1B1C1A2B2C2当——=——=——时，两条直线重合。A1B1C1A2B2C2A1B2－A2B1（,）B1C2－B2C1A1B2－A2B1C1A2－C2A1 §3.3.2两点间的距离 ïîïíìÛïîïíì平行重合相交无解无穷多解唯一解解方程组直线21212121,,,,llllllll方程组解的情况与方程组所表示的两条直线的位置关系有何对应关系？复习回顾 两点间的距离yxoP1P2yxoP2P1 已知平面上两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，如何求P1P2的距离|P1P2|呢?两点间的距离(1)x1≠x2,y1=y2(2)x1=x2,y1≠y2(3)x1≠x2,y1≠y2? 思考：已知平面上两点P1（x1,y1)，P2（x2,y2),如何求P1,P2的距离P1P2？xP1P2OyQM1N1M2N2在直角△P1QP2中， 练习1、求下列两点间的距离：(1)、A(6，0),B(-2，0)(2)、C(0，-4),D(0，-1)(3)、P(6，0),Q(0，-2)(4)、M(2，1),N(5，-1) 例题分析解：设所求点为P(x,0)，于是有解得x=1，所以所求点P(1,0) 2、求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的坐标；练习3、已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间的距离等于10，求点P的纵坐标。 例题分析例4、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。yxo(b,c)(a+b,c)(a,0)(0,0)解：如图，以顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则有A(0,0)设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质可得C(a+b,c)因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和ABDC 用坐标法证明简单的平面几何问题的步骤：第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；第二步：进行有关的代数运算；第三步：把代数运算结果“翻译”几何关系. 练习4、证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等。yxoBCAM(0,0)(a,0)(0,b) 平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离公式是小结 用坐标法证明简单的平面几何问题的步骤：第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；第二步：进行有关的代数运算；第三步：把代数运算结果“翻译”几何关系.小结