新人教A版必修2 高中数学 3.3.1 两直线的交点坐标 课件

3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两条直线的交点坐标 两条直线的交点1.直线上的点与其方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的解有什么样的关系?提示:直线l上每一个点的坐标都满足直线方程,也就是说直线上的点的坐标是其方程的解.反之,直线l的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标.2.已知两条直线l1与l2相交,如何用代数方法求它们的交点的坐标?提示:只需写出这两条直线的方程,然后联立方程组求解. 3.解下列方程组,各方程组解的情况与对应两直线的位置关系具有怎样的对应关系?方程组(2)无解,对应两直线平行;方程组(3)有无数组解,对应两直线重合. 4.问题3中的结论是不是具有一般性?如果是的话,该如何表述?提示:是.已知两直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0);l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0).则两直线相交,交点坐标为(x0,y0);有无数组解,则两直线重合;无解,则两直线平行. 5.填表:直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0);l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)的位置关系如表所示:6.做一做:在下列直线中,与直线x+3y-4=0相交的直线为()答案:C 7.做一做:判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)若由两条直线的方程组成的方程组只有一个公共解,则两条直线相交.()(2)若两条直线的斜率都存在且不等,则两条直线相交.()(3)两条直线的斜率一个存在,另一个不存在时,两条直线也相交.()答案:(1)√(2)√(3)√ 探究一探究二探究三思想方法两条直线的交点问题例1分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点.(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.思路分析:直接将两直线方程联立方程组,根据方程组解的个数判断两直线位置是否相交. 探究一探究二探究三思想方法这表明直线l1和l2没有公共点,故l1∥l2.反思感悟两直线位置关系的判断方法及应用涉及两直线交点的问题,通常是先求交点坐标,再进一步解决问题. 探究一探究二探究三思想方法变式训练1已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围是. 探究一探究二探究三思想方法过两直线交点的直线系方程例2(1)求经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交点的直线方程;(2)无论实数a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点,试求该定点.思路分析:(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,再将x=1,y=0代入求出λ,即得所求直线方程.(2)将直线方程改写为-x-y-1+a(x+2)=0. 探究一探究二探究三思想方法解:(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.即x+y-1=0.(2)由(a-1)x-y+2a-1=0,得-x-y-1+a(x+2)=0.所以,已知直线恒过直线-x-y-1=0与直线x+2=0的交点.所以方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点(-2,1). 探究一探究二探究三思想方法反思感悟利用直线系方程求直线的方程经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(它不能表示直线l2).反之,当直线的方程写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0时,直线一定过直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的交点. 探究一探究二探究三思想方法变式训练2已知直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,则直线l的方程为()A.2x+y=0B.2x-y=0C.x+2y=0D.x-2y=0(法二)设直线l的方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,因其过原点,所以8+(-λ)=0,λ=8,直线l的方程为2x-y=0.答案:B 探究一探究二探究三思想方法对称问题例3光线通过点A(2,3)在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程.思路分析:求点A关于直线l的对称点A'→求反射光线所在直线的方程→求入射光线与反射光线的交点坐标→求入射光线所在的直线方程 探究一探究二探究三思想方法解:设点A(2,3)关于直线l的对称点为A‘(x0,y0),解之,得A'(-4,-3).由于反射光线经过点A'(-4,-3)和B(1,1), 探究一探究二探究三思想方法反思感悟点关于直线的对称点的求法点P(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点P0(x0,y0),满足关系 探究一探究二探究三思想方法直线恒过定点问题典例求证:不论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过一定点.证明方法一:(m-1)x+(2m-1)y=m-5.①令m=1,得y=-4;令m=12,得x=9;如果上述结论成立的话,定点为(9,-4);假设经过该定点的直线斜率为k,那么经过该定点的直线方程为y+4=k(x-9),化简可得-kx+y=-9k-4.② 探究一探究二探究三思想方法下面只要证明①式和②式相同就可以了;故②式和③式相同,即①式和②式相同;故上述结论成立.方法二:将原方程按m的降幂排列,整理得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,此式对于m的任意实数值都成立,根据恒等式的要求,m的一次项系数与常数项均等于零,故有∴m为任意实数时,所给直线必通过定点(9,-4). 探究一探究二探究三思想方法方法技巧解决含参数的直线恒过定点问题,常用的方法(1)直接法,将已知方程化为点斜式、斜截式或截距式方程,进而得定点;(2)特殊法,取出直线系中两条特殊的直线,它们的交点就是所有直线都过的定点;(3)任意法,任取直线系中的两条直线,它们的交点就是所有直线都过的定点;(4)方程法,将已知方程整理成关于变数的方程,由于直线恒过定点,则关于变数的方程应有无穷多解,进而取出定点.如整理成f(x)+a·g(x)=0,而该方程有无穷多解,则有f(x)=0且g(x)=0,其解就是所有直线恒过的定点. 12341.直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是()A.(-9,-10)B.(-9,10)C.(9,10)D.(9,-10)答案:B 12342.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为()A.-24B.24C.6D.±6解析:∵直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,可设交点坐标为(a,0),答案:A 12343.若两条直线2x-my+4=0和2mx+3y-6=0的交点在第二象限,则m的取值范围是()答案:C 12344.已知直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,若l1⊥l2,则点P的坐标为.解析:∵直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,且l1⊥l2,∴a×1+1×(a-2)=0,解得a=1,∴点P的坐标为(3,3).答案:(3,3)