3.3.1两条直线的交点坐标
1.两条直线的交点坐标思考:几何元素及关系代数表示点A在直线l上直线l1与l2的交点是AA(a,b)l:Ax+By+C=0点A直线lAa+Bb+C=0点A的坐标是方程组的解结论1:求两直线交点坐标方法-------联立方程组
例1:求下列两条直线的交点:l1:3x+4y-2=0;l2:2x+y+2=0.例2:求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程:l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.解:解方程组3x+4y-2=02x+y+2=0∴l1与l2的交点是M(-2,2)解:解方程组x-2y+2=02x-y-2=0∴l1与l2的交点是(2,2)设经过原点的直线方程为y=kx把(2,2)代入方程,得k=1,所求方程为x-y=0x=-2y=2得x=2y=2得xyM-220l1l2
练习1:下列各对直线是否相交,如果相交,求出交点的坐标,否则试着说明两线的位置关系:(1)l1:x-y=0,l2:x+3y-10=0;(2)l1:3x-y+4=0,l2:6x-2y-1=0;(3)l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0;解:(1)x=5/2,y=5/2,两直线有交点(5/2,5/2)(2)方程组无解,两直线无交点。l1‖l2(3)两方程可化成同一个方程,两直线有无数个交点。l1与l2重合
2.二元一次方程组的解与两条直线的位置关系ïîïíìÛïîïíì平行重合相交无解无穷多解唯一解212121,,,llllll
探究:=0时,方程为3x+4y-2=0xy=1时,方程为5x+5y=0l2=-1时,方程为x+3y-4=00l1l3上式可化为:(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0发现:此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交点的直线系(直线集合)
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0是过直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。3.共点直线系方程:回顾例2:求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程:l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.解:设直线方程为x-2y+2+λ(2x-y-2)=0,因为直线过原点(0,0),将其代入上式可得:λ=1将λ=1代入x-2y+2+λ(2x-y-2)=0得:3x-3y=0即x-y=0为所求直线方程。
练习2:求经过两条直线x+2y-1=0和2x-y-7=0的交点,且垂直于直线x+3y-5=0的直线方程。解法一:解方程组x+2y-1=0,2x-y-7=0得x=3y=-1∴这两条直线的交点坐标为(3,-1)又∵直线x+3y-5=0的斜率是-1/3∴所求直线的斜率是3所求直线方程为y+1=3(x-3)即3x-y-10=0解法二:所求直线在直线系2x-y-7+λ(x+2y-1)=0中经整理,可得(2+λ)x+(2λ-1)y-λ-7=0∴-————=32+λ2λ-1解得λ=1/7因此,所求直线方程为3x-y-10=0
4.能力提升:①两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y轴上,则m的值是(A)0(B)-24(C)±6(D)以上都不对②若直线x-y+1=0和x-ky=0相交,且交点在第二象限,则k的取值范围是(A)(-∞,0)(B)(0,1](C)(0,1)(D)(1,+∞)③两直线x-y-1=0,3x+y-2=0与y轴所围成的三角形的面积为(A)9/4(B)9/8(C)3/4(D)3/8
④已知不论m取何实数值,直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过一定点,则这点的坐标为⑤当k为何值时,直线y=kx+3过直线2x-y+1=0与y=x+5的交点?⑥两条直线y=kx+2k+1和x+2y-4=0,的交点在第四象限,则k的取值范围是_______K=3/2A
课堂小结两直线交点的求法---联立方程组。两直线位置关系的判断:解方程组,根据解的个数。共点直线系方程及其应用ïîïíìÛïîïíì平行重合相交无解无穷多解唯一解212121,,,llllll