学案2两直线的交点坐标与距离公式名师伴你行SANPINBOOK
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返回目录名师伴你行SANPINBOOK考纲解读两直线的交点与距离公式1.了解二元一次方程组的解与两条直线交点坐标之间的关系，体会数殂结合思想；能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.理解两点间的距离公式、点到直线的距离公式，并能进行简单的计算.
名师伴你行SANPINBOOK考向预测从近两年的高考试题来看，两条直线的位置关系、两条直线的平行与垂直、点到直线的距离、两条平行线间的距离、两点间的距离是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档题.客观题主要考查距离公式的应用；主观题主要是在知识交汇点处命题，全面考查基本概念、基本运算能力.预测2012年高考仍将以点到直线的距离、两点间的距离、两条直线的平行与垂直为主要考点，题型以选择题、填空题为主，重点考查运算能力与对概念的理解能力.返回目录
返回目录1、两直线的交点已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点坐标对应的是方程组A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0的解，名师伴你行SANPINBOOK
其中①当A1B2-A2B1≠0时,两条直线，②当A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0（或B1C2-B2C1≠0）时,两条直线无交点,即，③当A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1=0(或B1C2-B2C1=0)时,两条直线有无数个公共点,即.2、距离公式(1)两点间的距离平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离|P1P2|=.(2)点到直线的距离平面上一点P(x1,y1)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离d=.返回目录相交于一点平行名师伴你行SANPINBOOK重合
返回目录(3)两平行线的距离若l1,l2是平行线，求l1,l2距离的方法：①求一条直线上一点到另一条直线的距离.②设l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则d=.名师伴你行SANPINBOOK
返回目录一条直线过点P(1,2)且被两条平行直线4x+3y+1=0和4x+3y+6=0截取的线段长为，求这条直线的方程.【分析】确定一条直线需两个独立条件，本题中已知直线l过点P（1，2），故只需再求出直线的斜率即可.考点1两直线交点问题名师伴你行SANPINBOOK
返回目录【解析】（1）当斜率不存在时，直线方程为x=1,与两直线的交点为A(1,),B(1,),∴|AB|=.∴x=1不是所求直线.(2)当斜率存在时,设为k,则所求直线的方程为y-2=k(x-1),它与两已知直线分别联立,求出它与两已知直线的交点坐标分别是A(,)，B(,).由|AB|2==2,得k=7或k=-.故所求直线的方程为x+7y-15=0或7x-y-5=0.名师伴你行SANPINBOOK
返回目录求与已知两直线的交点有关问题，可有以下两种解法：（1）先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依其他条件求解.（2）运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解.名师伴你行SANPINBOOK
求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.返回目录名师伴你行SANPINBOOK3x+2y-1=05x+2y+1=0,得l1,l2的交点(-1,2),再由l3的斜率为求出l的斜率为-,于是由直线的点斜式方程求出l:y-2=-(x+1),即5x+3y-1=0.【解析】解法一:先解方程组
解法二:∵l⊥l3,故l是直线系5x+3y+C=0中的一条直线,而l过l1,l2的交点(-1,2),故5×(-1)+3×2+C=0,由此求出C=-1.故l的方程为5x+3y-1=0.解法三:∵l过l1,l2的交点,故l是直线系3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0中的一条,将其整理,得(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0.其斜率解得λ=,代入直线系方程即得l的方程为5x+3y-1=0.返回目录名师伴你行SANPINBOOK
返回目录已知点P（2，-1）.（1）求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；（2）求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？考点2距离问题【分析】设出直线方程，利用点到直线距离公式求系数即可.【解析】（1）①当l的斜率k不存在时显然成立，∴l的方程为x=2;②当l的斜率k存在时，设l:y+1=k(x-2)，即kx-y-2k-1=0.名师伴你行SANPINBOOK
由点到直线距离公式得,∴k=,∴l:3x-4y-10=0.故所求l的方程为x=2或3x-4y-10=0.(2)作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得k1kOP=-1,所以kl=.由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为=5.返回目录名师伴你行SANPINBOOK
返回目录（1）点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握.（2）点到几种特殊直线的距离：①点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|.②点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|.③点P(x0,y0)到与x轴平行的直线y=a的距离d=|y0-a|.④点P(x0,y0)到与y轴平行的直线x=b的距离d=|x0-b|.名师伴你行SANPINBOOK
返回目录解法一:设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由题意知即|3k-1|=|-3k-3|,∴k=-.∴直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=-1，也符合题意.求过点P（-1，2）且与点A（2，3）和B（-4，5）距离相等的直线l的方程.名师伴你行SANPINBOOK
解法二:当AB∥l时,有k=kAB=-，直线l的方程为y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.当l过AB的中点时，AB中点坐标为（-1,2）,∴直线AB的方程为x=-1.故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.返回目录名师伴你行SANPINBOOK
返回目录求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.考点3对称问题【分析】转化为点关于直线的对称,利用方程组求解.名师伴你行SANPINBOOK
y=2x+3y=x+1(-2,-1),在l1上任取一点A(0,3),则A关于直线l的对称点=-1x1=2y1=1,即B(2,1).∴l2的方程为y-1=(x-2),即x-2y=0.返回目录得直线l1与l2的交点坐标为【解析】解法一:由B(x1,y1)一定在l2上,由得名师伴你行SANPINBOOK
解法二:设所求直线上一点P(x,y),则在直线l1上必存在一点P1(x0,y0)与点P关于直线l对称.由题设:直线PP1与直线l垂直,且线段PP1的中点P2()在直线l上.·1=-1x0=y-1,y0=x+1,代入直线l1:y=2x+3得x+1=2×(y-1)+3,整理得x-2y=0.∴所求直线方程为x-2y=0.返回目录变形得∴名师伴你行SANPINBOOK
y=2x+3y=x+1∴设直线l2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线l上任取一点(1,2),由题设知点(1,2)到直线l1,l2的距离相等,由点到直线的距离公式得解得k=(k=2舍去),∴直线l2的方程为x-2y=0.返回目录解法三:由知直线l1与l的交点坐标为(-2,-1),名师伴你行SANPINBOOK
返回目录1.中心对称（1）若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称，则由中点x=2a-x1y=2b-y1.（2）直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1∥l2，由点斜式得到所求直线的方程.名师伴你行SANPINBOOK坐标公式得
2.轴对称（1）点关于直线的对称若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l，由方程组A+B+C=0=-1,可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B＝0,x1≠x2).返回目录名师伴你行SANPINBOOK
(2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决，若已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上，然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点及点P2的直线就是l2;若已知直线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出l1的对称直线.返回目录名师伴你行SANPINBOOK
返回目录已知直线l:2x-3y+1=0，点A(-1,-2)，求：（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；（2）直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程.名师伴你行SANPINBOOK
【解析】（1）设A′(x,y)，再由已知解得返回目录名师伴你行SANPINBOOK
(2)在直线m上取一点如M（2，0），则M（2，0）关于直线l的对称点必在m′上，设对称点为M′(a,b)，2x-3y+1=03x-2y-6=0,得N（4，3）.又∵m′经过点N（4，3），∴方程为9x-46y+102=0.返回目录名师伴你行SANPINBOOK则设m与l的交点为N，由
考点4直线中的最值问题在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得:(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大;(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.返回目录名师伴你行SANPINBOOK
【分析】设B关于l的对称点为B′,AB′与l的交点P满足（1）;C关于l的对称点为C′,AC′与l的交点Q满足(2).事实上,对于(1),若P′是l上异于P的点,则|P′A|-|P′B|=|P′A|-|P′B′||AC′|=|QA|+|QC|.返回目录名师伴你行SANPINBOOK
【解析】(1)如图所示,设点B关于l的对称点B′的坐标为(a,b),则kBB′·kl=-1,即3·=-1.∴a+3b-12=0①又由于线段BB′的中点坐标为(,),且在直线l上,∴3×--1=0.即3a-b-6=0②解①②得a=3,b=3,∴B′(3,3).于是AB′的方程为,即2x+y-9=0.3x-y-1=0x=22x+y-9=0,y=5,即l与AB′的交点坐标为P（2，5）.返回目录解得名师伴你行SANPINBOOK
(2)如图所示,设C关于l的对称点为C′,求出C′的坐标为().∴AC′所在直线的方程为19x+17y-93=0,AC′和l交点坐标为(),则P点坐标为().返回目录名师伴你行SANPINBOOK
两点A,B在直线l的异侧，可在l上找一点M使|MA|-|MB|为最大.方法是可先求出点A（或B）关于直线l的对称点A′(或B′），连接A′B（或AB′），设它与l的交点为M，则M为所求.在直线l上找一点P到两定点A,B距离之和最小，则P必在线段AB上，故将l同侧的点利用对称转化为异侧的点；若到两定点A,B的距离之差最大，则P必定在AB的延长线上，或BA的延长线上，故将l异侧的点利用对称性变为同侧的点.对称是数学学科的一个重要专题，巧用对称思想解题往往使问题能得到快速、简捷的解答.返回目录名师伴你行SANPINBOOK
设点A(-3,5)和B(2,15),在直线l:3x-4y+4=0上,找一点P,使|PA|+|PB|为最小,并求这个最小值.返回目录名师伴你行SANPINBOOK
设点A关于直线l的对称点A′的坐标为（a，b），则由AA′⊥l和AA′被l平分，,,解之得a=3，b=-3，∴点A′的坐标为（3，-3）,∴(|PA|+|PB|)min=|A′B|=.∵kA′B==-18,∴直线A′B的方程为y+3=-18（x-3）.3x-4y+4=0，y+3=-18（x-3），返回目录得解方程组解之得P(，3).名师伴你行SANPINBOOK
返回目录（1）对称思想在解答解析几何问题时，常常需要对图形的几何性质进行深入探讨，对具有对称性质的图形或能构造对称图形的，均可利用其性质作转化.（2）数形结合的思想在平面解析几何中，几何图形的性质可通过对应的方程采用代数的方法来研究，而已知的方程或某些函数解析式也体现了形的性质，通过图形直观地确定解题思路.名师伴你行SANPINBOOK
祝同学们学习上天天有进步！名师伴你行SANPINBOOK
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