3.3.1两条直线的交点坐标疱丁巧解牛知识•巧学一、两条直线的交点如杲两条直线相交，则交点坐标分别适合两条直线的方程，即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解.把两条直线的方程组成方程组，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数个解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.要点提示直线相交的问题转化为求方程组的解的问题，且解的个数决定两条直线的位置关系•两直线的交点坐标对应的就是两直线方程所组成方程组的解.二、直线系方程具有某一共同屈性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程.方程的特点是除含坐标变fix.y以外，还含有待定系数(也称参变量).(1)共点直线系方程：经过两直线li：Aix+Biy+C^O,12：A2x+B2y+C2=0交点的直线方程为A】x+B】y+G+入(A2x+B2y+C2)=0,其中X是待定系数.在这个方程中,无论X取什么实数,都得不到A2x+B2y+C2=0,因此它不能表示直线12.(2)平行直线系：与直线Ax+By+C=O平行的直线系方程是Ax+By+入=0(入HC),入是参变量.(3)垂直直线系方程：与Ax+By+C=0(AH0,BH0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+入二0.(4)特殊平行线与过定点(x°,yo)的直线系：当斜率k一定而m变动时，y二kx+m表示斜率为k的平行线系，y-yo=k(x-xo)表示过定点(x(),y())的直线系(不含直线x=x°).要点提示如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时,可选用直线系方程来求解.直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具，是一种很有用的解题技巧,应注意掌握和应用.问题・探究问题1设两条直线的方程为h：Aix+B】y+G=0和l2:A2x+B2y+C2=0,如果这两条直线相交,你能分析它们的系数满足什么关系吗？探究:我们可以先解由两直线方程联立的方程组A,x+B,y4-C,=0(1),A2x+B2y+C2=0(2).①XB厂②XBi,得(AiB2-A，Bi)x+B2Ci-B]C2=0.当AiB2-A2B^0时,再由①XA?-②XAi,当AiB?-A2B1HO时，可得'「誥遵•因此'当W刊时，方程组有唯一组解X、y.这时两条直线相交，交点的坐标就是(x,y).因此这两条直线相交时，系数满足的关系为Ab-AzBiHO.问题2请你探究一下三条直线li：ax+y+l=0,l2:x+ay+l=0,l3：x+y+a=0构成三角形的条件是什么？探究:三直线构成三角形，则需任意两条直线都相交，且不能相交于一点.注意不要忽略三线交于同一点的情况.所以可以从正反两个方向来思考.
解法一:任两条直线都相交，则-7^-,故1.又有三条直线不交于同一点,16/11故其中两条直线]X+ay+1=0,的交点(-1-a,1)不在直线dx+y+l=o上，即[x+y+a=0a(T-a)+l+lHO,J+a-2H0,(a+2)(a-1)HO,/.a^-2,aHl.综合上述结果，三条直线构成三角形的条件是aH±l,a^-2.解法二：因为三条直线能构成三角形，所以三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点.可以把不能构成三角形的悄况排除掉.x+ay+1=0,若三条直线交于同一点，则其中两条直线彳'的交点(-1-a,1)在直线x+y+a=0ax+y+l=O上，/.a(-a~l)+1+1=0,.*.a=l或a二-2.若h//12t则有=—l,a二1；若I1//I3,则有=—1,a=l；若12〃】3,则有aa——=—a,a=±1.a所以若三条直线构成三角形，则需a^±l,a^-2.典题・热题例1分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点.(1)li：2x-y=7和I2：3x+2y-7二0;(2)11：2x-6y+4=0和L：4x~12y+8=0;(3)ll：4x+2y+4二0和L：y二-2x+3.思路解析：判定两直线的位置关系，对以转化为讨论方程组解的情况.若两直线方程组成的方程组有且仅有一组解时，说明两直线相交；若方程组无解，说明两直线平行；若方程组有无数多组解，则说明两直线重合.12xV7=0jx=3J-'的解为｛-'因此直线1】和L相交，交点坐标为(3,-1).3x+2y-7=0[y=・1,(2)方程组]2x・6y+4=0,有无数组解，这表明直线b和重合.I4x・12y+8=0⑶方程组;:鳥罗'无解，这表明直线h和鞍有公共点,故"深化升华根据两直线方程判断两直线的位置关系时，当已知形式是直线的斜截式方程时，利用斜率以及纵截距来判定两直线是否相交、平行或重合更方便•当已知直线的一般式方程时，若系数中含有字母，因为直线斜率是否存在不清楚，若再使用斜率判定，则要进行分类讨论，但用一般式的系数关系來判断则不用讨论，显得较为简单易行.例2已知两直线li：x+my+6二0,L：(m-2)x+3y+2m=0,当m为何值时，直线h与L⑴平行；(2)重合；(3)相交?思路解析：对于平行及重合的判断，可以通过斜率与截距来分析•而对于h与12相交的情况,只能通过解方程组来寻求规律.
解：当m=0时,li：x+6=0,12：2x-3y二0,此时li与L相交.当mHO日寸,li：y-x,1_2：mmm-22y二xm.331m-2m362H——m,m3解得m=-l(m=3舍去)./c、卄、—、工人nI加一232m(2)若h与】2重合，则=—=,1m6解得m=3.故m=-l时,li〃12；m=3时，li与L重合.⑶由li的方程得x=-my-6,代入1_2的方程得(m-2)(-my-6)+3y+2m=0,即(m2-2m-3)y=12-4m.显然,m2-2m-3=0时无解，只有当m2-2m-3^0,即且mH3时，方程才有解，且是唯一解，故只有当niH-l且时两直线相交.深化升华具体的两条直线的位置关系的判断方法：实际上，对于两条直线平行，可以将两直线的方程分别化为斜截式，通过斜率相等，纵截距不相等来判断；对于两条直线重合的情况，实际上是两条直线的方程完全相同，只是化简的程度不同，此吋，可通过对应项的系数的比值相等來判断.例3求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2二0的交点且与直线3x+y-l=0平行的直线方程.思路解析：根据本题的条件，一种思路是先求出交点坐标，再设所求直线的点斜式方程求出所要求的直线方程；另一种思路是利用直线系(平行系或过定点系)直接设出方程，根据条件求未知量，得出所求直线的方程.解:(方法一)由方程组2x-3y-3=0,x+y+2=0,・・•直线1和直线3x+y-l=0平行,・・・直线1的斜率k二-3.73・・・根据点斜式有y-(--)=-3,55即所求直线方程为15x+5y+16二0.(方法二)•・•直线1过两直线2x-3y-3=0和x+y+2二0的交点,・・・设直线1的方程为2x-3y-3+X(x+y+2)二0,即（入+2）x+（入-3）y+2入-3=0.・・•直线1与直线3x+y-l=0平行,22—3.解得呼从而所求直线方程为15x+5y+16二0・拓展延伸直线系是指具有某一共同特征的直线的集合.表示直线系的方程叫做直线系方程.除了本题的共点直线系外，还有过定点的直线系、平行直线系和垂直直线系等.对于求与已知直线有着--定联系的直线的方程吋，可以通过特定的直线系方程利用待定系数法来求解.
注意要根据题中条件灵活地选择方程进行求解.变式：求与直线2x+3y+l二0垂直，且过点P(l,-1)的直线1的方程.思路解析：本题可以先求得直线的斜率，应用直线的点斜式方程求得•也可以由垂直直线系方程设出直线的方程求待定的系数.解：设与直线2x+3y+l二0垂直的直线1方程为3x-2y+c二0.因为点P(l,-1)在直线1上，所以3Xl-2X(-l)+c=0,解Z,得c=-5.所以所求直线方程为3x-2y-5=0.例4求证：不论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标.思路解析：题目所给的直线方程的系数含有字母m，给m任何一个实数值，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以m为参数的直线系方程.要证明这个直线系中的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出in的两个特殊值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点.另一个思路是：由于方程对任意的m都成立，那么就以ni为未知数，整理为关于ni的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标.解：解法一：对于方程(2m-l)x+(m+3)y-(m-ll)=0,令m二0,得x-3y-ll=0；令m二1,得x+4y+10=0.fx-3y-l1=0,解方程组｛7得两条直线的交点为(2,-3).将点(2,-3)代入已知直线方程左[x+4y+10=0,边，得(2m-1)X2+(m+3)X(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m+l1=0.这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2,-3).解法二：将己知方程以m为未知数,整理为(2x+yT)m+(-x+3y+l1)=0.由于“的取值的任意性，有：:爲二°解得;J.所以所给直线不论m取什么实数，均经过定点(2,-3).深化升华含参直线过定点问题的解题思路有二：一是曲线过定点，即与参数无关，则参数的同次幕的系数为0,从而求出定点；二是分别令参数为两个特殊值，得方程组，求出点的坐标，代入原方程满足，则此点为所求定点.
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