直线的方程,直线的交点坐标与距离公式

直线的方程，直线的交点坐标与距离公式♥♣♥►知识梳理：一、直线的方程①点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y0。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是x=x0。②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：（）直线两点，④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。⑤一般式：（A，B不全为0）注意：各式的适用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：（b为常数）；平行于y轴的直线：（为常数）；⑥中点坐标公式：经过两点的线段中点坐标公式.⑦两直线平行与垂直：当，时，；注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。二、两条直线的交点1.若相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解；方程组有无数解与重合2.与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的直线，可设所求方程为.3.已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）；（2）；（3）与重合；（4）与相交.如果时，则；与重合；与相交.三、两点间距离公式：设平面内两点，，则两点间的距离为：.特别地，当所在直线与x轴平行时，；当所在直线与y轴平行时，；四、点到直线距离公式：点到直线的距离五、两平行直线距离公式：5 两条平行直线，之间的距离公式，♥♣♥►例题选讲：例1、已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C（0，2），求BC边所在直线的方程，以及该边中线所在直线的方程。解：过B(3,-3),C（0，2）的两点式方程为，整理得5x+3y-6=0,这就是BC边所在直线的方程。BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为。过A(-5,0)，的直线的方程为，即x+13y+5=0,这就是BC边中线所在直线的方程例2、求经过点（-2，2），且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线方程。解法一：由题设，设所求直线方程为，由已知可得，，解得=-1,=-2,或=2,=1∴2x+y+2=0或x+2y-2=0解法二：设直线为交轴于点，交轴于点，得，或解得或，或为所求例3、已知点P（-4，2），直线：3x-2y-7=0,求：（1）过点P且与平行的直线的方程；（2）过点P且与垂直的直线的方程。解析：(1)与直线：3x-2y-7=0平行的直线可设为3x-2y+m=0由直线过点P（-4，2），则m=16∴过点P且与平行的直线的方程3x-2y+16=0(2)与垂直的直线可设为2x+3y+n=0由直线过点P（-4，2），则n=2∴过点P且与垂直的直线的方程2x+3y+2=0例4、设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为(  )A．2x＋y－7＝0   B．2x－y－1＝0C．x－2y＋4＝0D．x＋y－5＝0解析：∵PA的方程为x－y＋1＝0，∴P(2,3)；又∵A点在x轴上，∴A(－1,0)；而|PA|＝|PB|，且B点在x轴上，∴B(5,0)；∴直线PB的方程为：x＋y－5＝0，故选D.5 ♥♣♥►巩固练习：一、选择题：1、直线的倾斜角和斜率分别是（）A．B．C．，不存在D．，不存在1.C垂直于轴，倾斜角为，而斜率不存在2、过点且垂直于直线的直线方程为（）A．B．C．D．2.A设又过点，则，即3、已知过点和的直线与直线平行，则的值为（  ）A．B．C．D．3.B4、已知，则直线通过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限4.C5、设直线的倾斜角为，且，则满足（）A．B．C．D．5.D6、已知点，则线段的垂直平分线的方程是（）A．B．C．D．6.B线段的中点为垂直平分线的，7、过两点的直线在x轴上的截距是(A)A．B．C．D．28、已知直线l与过点M(－，)，N(，－)的直线垂直，则直线l的倾斜角是()．A．B．C．D．5 8．C解析：因为直线MN的斜率为，而已知直线l与直线MN垂直，所以直线l的斜率为1，故直线l的倾斜角是．9、过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为()．9．DA．19x－9y＝0B．9x＋19y＝0C．19x－3y＝0D．3x＋19y＝010、直线l的斜率是直线x+2y+3=0的斜率的2倍，且过点（1，2），则直线l的方程为（  ）A、y=﹣4x+6B、y=﹣4x+4C、y=﹣x+3D、y=﹣4x﹣4解答：解：直线x+2y+3=0的斜率为﹣，∴直线l的斜率是﹣1，又直线l过点（1，2），由点斜式得y﹣2=﹣1（x﹣1），即y=﹣x+3，故选C．11、直线l过点（﹣1，﹣1），且在x，y轴上的截距相等，则直线l的方程为（  ）A、x+y+2=0B、y=xC、x+y+2=0或x﹣y﹣1=0D、y=x或x+y+2=0解答：解：当直线l在x轴和y轴上的截距相等且不为0时，设直线l的方程的截距式方程为：x+y=，把（﹣1，﹣1）代入到直线l的方程中，得到=﹣2，所以直线l的方程为：x+y=﹣2即x+y+2=0；当直线l与x轴和y轴的截距相等都为0时，设y=kx，把（﹣1，﹣1）代入求得k=1，所以直线l的方程为：y=x．所以直线l的方程为：y=x或x+y+2=0．故选D12、已知直线（﹣1）x+y=1过定点A，直线x+（b﹣1）y=1过定点B，则直线AB的方程为（  ）A、x﹣y=1B、x+y=1C、x﹣y=a+bD、x+y=a+b解答：解：因为直线（﹣1）x+y=1过定点A，所以令x=0，得y=1，所以A（0，1）；直线x+（b﹣1）y=1过定点B，所以令y=0，得x=1，所以B（1，0）．所以直线AB的解析式为：y﹣0=（x﹣1）化简得：x+y=1故选B13、若c＜0，bc＜0，则直线x+by+c=0的图形只能是（  ）A、B、C、D、解答：解：由题意知，函数的解析式即y=﹣x﹣，∵ac＜0，bc＜0，∴a•b＞0，∴﹣＜0，﹣＞0，故直线的斜率小于0，在y轴上的截距大于0，故选C．14、已知直线l1：（k﹣3）x+（5﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0垂直，则k的值是（）A、1或3B、1或5C、1或4D、1或2解答：解：由题意得2（k﹣3）2﹣2（5﹣k）=0，整理得k2﹣5k+4=0，解得k=1或k=4．故选C．二、填空题15、以点为端点的线段的中垂线的方程是。15、5 16、过点平行的直线的方程是。16、17、直线轴上的截距分别为。17、18、设直线l1的方程为x+2y﹣2=0，将直线l1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l2，则l2的方程是 2x﹣y+2=0 ．解答：解：直线l1的方程为x+2y﹣2=0，将直线l1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l2，l2的斜率为：2，直线l1上的（2，0）绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l2的点（0，2），所以l2的方程是2x﹣y+2=0故答案为：2x﹣y+2=0三.解答题19、求经过直线l1:3x+4y-5=0，l2:2x-3y+8=0的交点M,且满足下列条件的直线方程：(Ⅰ)经过原点;(Ⅱ)与直线2x+y+5=0平行;(Ⅲ)与直线2x+y+5=0垂直.19、解：(Ⅰ)（Ⅱ）（Ⅲ）20、已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点。（1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长（3）求AB边的高所在直线方程。21、在直线3x-y＋1=0上求一点P，使点P到两点（1，-1）和（2，0）的距离相等。分析：（1）设P（x，y），则有y＝3x＋1，故点P的坐标为（x，3x＋1），由距离公式得x的方程，解得x＝0。（2）设P（x，y），求出两点（1，-1），（2，0）的中垂线方程为x＋y－1＝0，再解方程组得P（0，1）。解法1：设P（x，y），则有y＝3x＋1故点P的坐标为（x，3x＋1）解之得：x＝0∴所求的点为P（0，1）解法2：设P（x，y），两点（1，-1），（2，0）所连线段的中垂线方程为：解由、组成的方程组得：P（0，1）22、求经过点的直线，且使，到它的距离相等的直线方程。1.解：显然符合条件；当，在所求直线同侧时，，或5