高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.1两直线的交点坐标 习题检测

第2课时两直线的交点坐标、两点间的距离（习题课）[A级 基础巩固]一、选择题1．已知点A(1，－2)，B(m，2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是(  )A．－2    B．－7C．3D．1解析：因为线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，所以线段AB的中点在直线x＋2y－2＝0上，解得m＝3.答案：C2．两条直线2x－my＋4＝0和2mx＋3y－6＝0的交点在第二象限，则m的取值范围是(  )A.B.C.D．(2，＋∞)解析：解出两直线的交点为，由交点在第二象限，得解得m∈.答案：C3．光线从点A(－2，)射到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C(1，2)，则光线BC所在直线的倾斜角为(  )A．30°B．60°C．120°D．150°解析：点A(－2，)关于x轴对称的点为A′(－2，－)，由物理知识知kBC＝kA′C＝＝.所以光线BC所在直线的倾斜角为60°.答案：B4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于(  )A．－2B．－ C．2D.解析：解方程组得代入方程x＋ky＝0得－1－2k＝0，所以k＝－.答案：B5．若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为(  )A．－3，－4B．3，4C．4，3D．－4，－3解析：由方程组得交点B(1，2)，代入方程ax＋by－11＝0中，有a＋2b－11＝0，①又直线ax＋by－11＝0平行于直线3x＋4y－2＝0，所以－＝－，②由①②，得a＝3，b＝4.答案：B二、填空题6．已知点A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，a＝________．解析：|AB|＝＝＝＝＝，所以当a＝时，|AB|取最小值．答案：7．直线ax＋by－2＝0，若满足3a－4b＝1，则必过定点________．解析：由3a－4b＝1，解出b，代入ax＋by－2＝0，得a(4x＋3y)＝y＋8.令解得答案：(6，－8)8．已知A(2，1)，B(1，2)，若直线y＝ax与线段AB相交，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，直线y＝ax的斜率为a且经过原点O，因为直线y＝ax与线段AB相交，所以实数a的最小值为OA的斜率，最大值为OB的斜率，OA的斜率为，OB的斜率为2，故实数a的取值范围是.答案：三、解答题9．已知△ABC的一个顶点A(－1，－4)，∠B，∠C的平分线所在直线的方程分别为l1：y＋1＝0，l2：x＋y＋1＝0，求边BC所在直线的方程．解：设点A(－1，－4)关于直线y＋1＝0的对称点为A′(x1，y1)，则x1＝－1，y1＝2×(－1)－(－4)＝2，即A′(－1，2)，且A′在直线BC上．再设点A(－1，－4)关于l2：x＋y＋1＝0的对称点为A″(x2，y2)，则解得即A″(3，0)也在直线BC上．由直线方程的两点式得＝，即边BC所在直线的方程为x＋2y－3＝0.10．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在的直线为坐标轴，建立如右图所示的平面直角坐标系，设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)．因为斜边BC的中点为M，所以点M的坐标为，即.由两点间的距离公式，得 |BC|＝＝.|AM|＝＝即|AM|＝|BC|.B级 能力提升1．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ，的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(  )A.B．－C．－D.解析：依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，由中点坐标公式知解得从而可知直线l的斜率为＝－.答案：B2．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|＝________．解析：易知A(0，－2)，B，所以|AB|＝＝.答案：3．为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△AEF内部有一文物保护区域不能占用，经测量AB＝100m，BC＝80m，AE＝30m，AF＝20m．应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图建立平面直角坐标系， 则E(30，0)，F(0，20)．所以线段EF的方程是＋＝1(0≤x≤30)．在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，作PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．又因为＋＝1(0≤m≤30)，所以n＝20，所以S＝(100－m)＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)．于是当m＝5时，S有最大值．这时＝＝5.故当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且＝5时，草坪的面积最大．