直线的交点坐标与距离公式(1)

直线的交点坐标与距离公式一：两条直线的交点坐标：1、设两条直线分别为：，：则与是否有交点，只需看方程组是否有唯一解若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两直线重合例1、求经过两直线和的交点且与直线平行的直线方程。经过两直线与交点的直线系方程为，其中是待定系数，在这个方程中，无论取什么实数，都得到，因此，它不能表示直线。2、对称问题（1）点关于点的对称，点A(a，b)关于的对称点B（m，n），则由中点坐标公式，即B（）。（2）点关于直线的对称，点关于直线（A、B不同时为0）的对称点，则有AA’的中点在上且直线AA’与已知直线垂直。（3）直线关于直线的对称，一般转化为点关于直线的对称解决，若已知直线与对称轴相交，则交点必在与对称的直线上，然后再求出上任意不同于交点的已知点关于对称轴对称的点，那么经过交点及点的直线就是；若直线与对称轴平行，则在上任取两不同点、，求其关于对称轴的对称点、，过、的直线就是。例题2、已知直线，试求①点P(4,5)关于的对称坐标；②直线关于直线的对称的直线方程。 例题3、求函数的最小值。二、两点间的距离，点到直线间的距离（1）两点间的距离：已知则（2）点到直线的距离:已知点，直线（A、B不同时为0），求点到直线的距离。解法一：如图，作于点，设，若A,BO,则由,得，从而直线的方程为，解方程组得容易验证当A=0或B=0时，上式仍然成立。解法二：如图，设A0,B0，则直线与x轴和y轴都相交，过点分别作x轴和y轴的平行线，交直线于R和S，则直线的方程为，R的坐标为（-）； 直线的方程为，S的坐标为（-），于是有,,。设，由三角形面积公式可得.于是得因此，点到直线的距离容易验证，当A=0或B=0时，上式仍成立。注意:①若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离；②点到直线的距离是点到直线上的点的最短距离；③若点在直线上，则点到直线的距离为0，但距离公式仍然成立，因为此时。三、直线的位置关系（同一平面上的直线）1、平行与垂直（1）两条直线平行的判定①当两条直线的斜率存在时，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式为例来研究直线平行的判定设两条直线分别为，：：若，则的倾斜角相等，即由，可得，也即，此时；反之也成立。所以有且②当两条直线的斜率都不存在时，二者的倾斜角均为，若不重合，则它们也是平行直线注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论：设两条直线分别为：，：可得（其中分母不为0） 或（可用直线的方向向量或法向量解释）例4、已知点和直线：，求过点A和直线平行的直线。（引出平行直线系方程）（2）两条直线垂直的判定①当两条直线的斜率存在且不为0时，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式为例来研究直线平行的判定设两条直线分别为，：：则得直线的方向向量为：的方向向量为：，所以有即注意：或用两条直线的倾斜角推倒：即，得到②两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线垂直。由①②得，两条直线垂直的判定就可叙述为：一般地，或一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零。注意：当不考虑斜率，即给出直线的一般式时，有如下结论：设两条直线分别为：，：可得例5、求与直线垂直且过点（1，2）的直线方程（引出垂直直线系方程）例6、已知两直线：，：，当为何值时，直线与：①平行②重合③垂直例7、已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D的坐标例8、求证：不论为取什么实数，直线总通过某一定点例9、已知直线，（1）若时，恒成立，求 的取值范围；（2）若时，恒有，求的取值范围四、到角、夹角（1）到角公式定义：两条直线和相交构成四个角，他们是两对对顶角，为了区别这些角，我们把直线绕交点按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，叫做到的角，如图，直线到的角是，到的角是推倒：设已知直线方程分别是：：.到的角是①若，即，那么②若，设、的倾斜角分别为，则由图1）的，所以由图2）的，所以于是即就是到的角的正切值，简称为到角公式（2）夹角公式定义：由（1）得，到的角是，所以当与相交但不垂直时，在和中有且只有一个角是锐角，我们把其中的锐角叫做两条直线的夹角，记夹角为，则，即为夹角公式当直线时，直线与的夹角为例10、等腰三角形一腰所在直线的方程是，底边所在直线的方程是，点在另一腰上，求这条腰所在直线的方程五：两平行线间的距离。 定义；两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长，即一条直线上的点到另一条直线的距离。两条平行直线与的距离公式推导过程：设为直线上任意一点，则到的距离为，又因为在上，所以，即,所以。注意：应用此公式时，要把两直线化为一般式，且x、y的系数分别相等。例题11、求经过点A(-1,2)与B()的直线上一点C（5，n）到直线的距离。例题12、求经过点A（1，2）且到原点的距离等于1的直线方程。例题13、已知三角形ABC中，点A（1，1），B（m，）（1