高一数学两直线的交点

高一数学两直线的交点高一数学两直线的交点两直线的交点【学习导航】两条直线的方程分别是l1:A1x+B1y+C1=0l1:A2x+B2y+C2=0?A1x+B1y+C1=0构成方程组?．（＊）Ax+By+C=0解、无解和无穷多组解；2．当两条直线相交时，会求交点坐标；3．学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力．（1）求两直线的交点坐标只需将这两条直线的方程联立成方程组，方程组的解即为交点（2）在解由两直线的方程组成的方程组的时候可能出现的三种结果是：①方程组有一组解，该解为交点坐标；②方程组有无数组解，此时两直线的位置关系为重合，交点个数为无数个；③方程组无解，此时两直线的位置关系是平行，交点个数为0个.例1：分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点：（1）l1:2x-y=7，l2:3x+2y-7=0；（2）l1:2x-6y+4=0，l2:4x-12y+8=0；（3）l1:4x+2y+4=0，l2:y=-2x+3．?x=3?2x-y-7=0【解】（1）因为方程组?的解为?,y=-1??3x+2y -7=0?2x-6y+4=0（2）方程组?有无数组解，?4x-12y+8=0这表明直线l1和l2重合．?4x+2y+4=0（3）方程组?无解，2x+y-3=0?这表明直线l1和l2没有公共点，故l1IIl2.点评:研究两条直线l1,l2的位置关系（相交、重合、平行）可以转化为两条直线方程所得的方程组??A1x+B1y+C1=0的解的个数问题．?A2x+B2y+C2=0例2：直线l经过原点，且经过另外两条直线2x+3y+8=0，x-y-1=0的交点，求直线l的方程．?2x+3y+8=0分析：法一由两直线方程组成方程组?，求出交点（-1,-2），再过原点（0,0），?x-y-1=0由两点求直线方程．法二设经过两条直线2x+3y+8=0，x-y-1=0交点的直线方程为（2x+3y+8）+入（x-y-1）=0,又过原点，由（0,0）代入可求人的值.点评:已知直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0相交，那么过两直线的交点的直线方程可设为（A1x+B1y+C1）+入（A2x+B2y+C2）=0（入CR）例3：某商品的市场需求y1（万件）、市场供求量y2（万件）、市场价格x（元/件）分别近似地满足下列关系：y=-x+70,y=2x-20．当y1=y2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．（1）求市场平衡价格和平衡需求量； （2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？分析：市场平衡价格和平衡需求量实际上就是两直线y=-x+70,y=2x-20交点的横坐?y=-x+70的解．?y=2x-20?y=-x+70?x=30【解】(1)解方程组?得?，y=40y=2x-20??标和纵坐标，即方程组?故平衡价格为30元/件，平衡需求量为40元/件．(2)设政府给予t元/件补贴，此时的市场平衡价格(即消费者支付价格)x元/件，则供货者实际每件得到(x+t)元．依题意得方程组??-x+70=44，解得x=26,t=6．?2(x+t)-20=44因此，政府对每件商品应给予6元补贴．点评:这是一道关于两直线交点的实际应用题,关键要读懂题目意思,而后通过解方程组解决问题.1.若一条直线过点(2,1)，且与另一条直线y=kx+b相交于点(1,2),则该直线的方程为x+y-3=0．(B)2.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0,x+ky=0相交于一点，则k的值等于11(C)2(D)223.三条直线x+y+1=0，2x-y+8=0，ax+3y-5=0有且只有两个交点，则a=(A)-2(B)-两直线的交点的其他应用例4:已知三条直线l1：4x+y-4=0，l2：xm+y=0，l3：2x-3my-4=0，求分别满足下列条件的m的值： (1)使这三条直线交于同一点；(2)使这三条直线不能构成三角形．分析：三条直线交于同一点的条件是两直线交点在第三条直线上；三条直线不能构成三角形的条件是三条直线交于一点或其中有两条直线平行．【解】要使三直线交于一点，则l1与l2不平行，：mW4,4?x=?4x+y-4=0?4-4m?4-m,),：由？得？，即l1与l2交点为(-4m4-m4-mxm+y=0??y=??4-m8-4m2-3m?-4=0，解得m=-1或．代入l3方程得4-m4-m32(2)若l1、l2、l3交于一点，则m=-1或；若l1//l2，则m=4；31若l1//l3，则m=-;若l2//l3，则m无解，621综上可得：m=-1或或4或-．36点评：三条直线要能构成三角形，只需两两不平行即可．例5：求证：不论m为何实数，直线l：(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过一定点，并求出此定点的坐标．分析：证明直线过定点即证定点坐标始终满足直线方程．【解】(法一)将直线l方程(m-1)x+(2m-1)y=m-5整理为(x+2y-1)m-x-y+5=0，该方程表示过直线x+2y-1=0和-x-y+5=0交点的直?x+2y-1=0得交点(9,-4)，:直线l过定点(9,-4).-x-y+5=0?1(法二)令m=1得y=-4，m=得x=9，两直线y=-4和x=9交点为(9,-4)，2将(9,-4)代入直线方程得9m-9-8m+4=m-5恒成立，所以，直线l过定点(9,4)．由?点评：以上两种方法是处理直线过定点问题的常用方法．因为直线上点的坐标就是对应方程的解,所以两直线是否有交点,取决于它们对应方程组成的方程组是否有唯一解.体验“形”的问题怎样通过“数”的运算来解决,从而感悟 到解析几何的本质(即用代数的方法来研究或解决几何问题).a1x+b1y+3=0和a2x+b2y+3=0的交点是(2,3)，则过两点 =0P(a1,b1),Q(a2,b2)的直线方程是(C)(A)3x+2y=0(B)2x+3y+3=0(C)3x+2y+3=0(D)2x-3y-52.(2002北京文，6)若直线l:y=kx-3与直线2x+3y—6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(B)(A)[,)(B)(,)式汽汽汽6362(C)(,)(D)[,]n汽汽汽3262解法一：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围?x=???y=kx????2x+3y-6=0???y=??•••交点在第一象限，?3(2+)>0??x>0?2+3k：?：??y>0?6k-23>0??2+3k3：kC(,i)3「•倾斜角范围为(式式62,)解法二：如图，直线2x+3y－6=0过点A(3，0)，B(0，2)，直线l必过点(0，－)，当直线过A点时，两直线的交点在x轴，当直线l绕C点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果.点评：解法一利用曲线与方程的思想，利用点在象限的特征求得，而解法二利用数形结合的思想，结合平面几何中角的求法，可迅速、准确求得结果.11,-)．kk4.求证：不论m为何实数，直线l:(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过一定点，并求出3.设m+n=k(k为非零常数)，则直线mx+ny+1=0恒过点(-此定点的坐标．两条直线的交点 1.直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0重合,则必有()(A)A1=A2,B1=B2,C1=C2.(B)A1B1C1.==A2B2C2(C)两直线斜率和截距都相等.(D)A1=mA2,B1=mB2,C1=mC2(mCR,mw0)列直线中,与.2.下直线2x-y-=3相交的直线是(A)2ax-ay+6=0(a丰0).(B)y=2x.(C)y=2x+5.(D)y=-2x+3.3.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0,x+ky=0相交于一点,则实数k的值等于()(A)-2.(B)-11.(C)2.(D).224.当a取不同的实数时，直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过一个定点，这个定点的坐标是()(A)(2,3).(B)(-2,3).(C)(1,-).(D)(-2,0).5.已知点A(1,3)关于直线l的对称点为B(-5,1)，则直线l的斜率为．6.如果两条直线2x+3y-m=0和x-my+12=0的交点在y轴上，则m的值7.直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+c=0垂直并相交于点(1,m)，则a=，12c=，m=.8.求经过2x+y+8=0和x+y+3=0的交点，且与直线2x+3y-10=0垂直的直线方程.9.若三条直线4x+y+4=0，mx+y+1=0，x-y+1=0不能围成三角形,求实数m的值. 3.(1)当入变化时，方程x-2y+1+入(2x+3y+9)=0表示什么图形？图形有何特点？4.求经过直线x-2y+1=0和2x+3y+9=0的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．11.已知过原点的直线l与两直线l1:4x+y+6=0，l2:3x-5y-6=0交点的横坐标分别为xA，xB且xA+xB=0，求直线l的方程．12.已知两点A(-1,0)和B(1,0)，直线y=-2x+b与线段AB相交，求b的取值范围．