高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.2 两点间的距离 教案

学习必备欢迎下载两条直线的交点坐标、两点间的距离一、新知学习A．两条直线的交点坐标已知直线l1:Ax1By1C10，l2:Ax2By2C20．结论1如果两条直线l1和l2相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是方程组Ax1By1C10,的解．Ax2By2C20结论2反之，如果这两个二元一次方程只有一组公共解，那么以这组解为坐标的点必是直线l1和l2的交点．结论3用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．B．一般式条件下两直线相交、重合、平行与垂直的条件设直线l1:Ax1By1C10，l2:Ax2By2C20，则有A1B1结论1直线l1、l2相交的条件为AB12AB210或(AB2,20)．A2B2AB12AB210,AB12AB210,结论2直线l1、l2重合的充要条件为或或BC12BC210,AC12AC210,A1B1C1(ABC2,2,20)．A2B2C2AB12AB210,AB12AB210,结论3直线l1、l2平行的充要条件为或或BC12BC210AC12AC210.A1B1C1(ABC2,2,20)．A2B2C2结论4直线l1、l2垂直的充要条件为AA12BB120．Ax1By1C10,结论1、2、3的证明：将两条直线方程联立，得方程组①AxByC0.222消去y，整理得(ABABx)BCBC②．将方程组消去x，整理得(ABABy)(ACAC)③．则1221122112211221AB11（ⅰ）直线l1，l2相交当且仅当方程组①有唯一解，当且仅当方程②或方程③有唯一解，当且仅当AB12AB210或(AB2,20)．AB22精品学习资料可选择pdf第1页，共6页----------------------- 学习必备欢迎下载AB12AB210,（ⅱ）直线l，l重合当且仅当方程组①有无穷多解，当且仅当方程②或方程③有无穷多解，当且仅当或12BC12BC210AB12AB210,A1B1C1或(ABC2,2,20)．AC12AC210,A2B2C2AB12AB210,AB12AB210,（ⅲ）直线l，l平行当且仅当方程组①无解，当且仅当方程②与方程③同时无解，当且仅当或或12BC12BC210AC12AC210,ABC111．(ABC2,2,20)ABC222（ⅳ）此情况不能用方程组讨论，需利用直线的方向向量或法向量讨论．分别取直线l1，l2的方向向量a(B1,A1)，b(B2,A2)，则直线l1，l2垂直当且仅当abBB12(A1)(A2)AA12BB120．C．斜截式条件下两直线的相交、重合、平行与垂直的条件设两条直线l1:ykx1b1，l2:ykx2b2，倾斜角分别是1，2，则结论1直线l1、l2相交的充要条件为k1k2或12．k1=k2,1=2,结论2直线l1、l2重合的充要条件为或b1b2b1b2.k1=k2,1=2,结论3直线l1、l2平行的充要条件为或b1b2b1b2.结论4直线l1、l2垂直的充要条件为kk121或|12|90．D．两点间的距离公式条件：点Pxy1(,11)，Px2(2,y2)．22结论：|PP12|(x2x1)(y2y1)．22特例：（1）点Pxy(,)到原点O的距离|OP|xy．（2）当PP12x轴时，|PP12||y2y1|．（3）当PP12y轴时，|PP12||x2x1|．二、知识迁移A．概念理解1．判断题：精品学习资料可选择pdf第2页，共6页----------------------- 学习必备欢迎下载（1）若点Aab(,)在直线lAx:ByC0上，则点A的坐标一定适合直线l的方程．（2）若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．（3）当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用．结果：（1）正确．（2）正确．（3）错误．2．口答：（1）若点A(1,)b是直线2x3y10上一点，则b．（2）若直线2xy10与直线xy40的交点为(,)ab，则ab．（3）点M(3,4)到坐标原点的距离|OM|．结果：（1）1．（2）4．（3）5．3．思考：（1）若两直线的方程组成的二元一次方程组有解，则两直线是否相交于一点？（2）若两条直线中有一条斜率存在，另一条斜率不存在，则这两条直线相交吗？结果：（1）不一定．两条直线是否相交，取决于联立两直线方程所得方程组是否有唯一解．若方程组有无穷多解，则两直线重合．（2）相交．因为两直线仅有三种位置关系：平行、相交、重合，而此处一条线率存在，另一条不存在，显然不能平行或重合，故一定相交．4．写出满足下列条件的直线的点斜式方程：（1）下列直线中，与直线x3y40相交的直线为11A．x3y0B．yx12C．yx4D．2x3y33（2）若直线xya0与x轴相交于点M的横坐标为3，则a．结果：（1）D．（2）3．5．思考：当A，B两点在坐标轴上时，利用两点间的距离公式求|AB|还适用吗？解：适用．因为两点间的距离公式适用于平面内任意两点．6．（1）求下列两点间的距离：（ⅰ）A(2,5)，B(2,5)．（ⅱ）A(3,4)，B(2,1)．（ⅲ）A(0,0)，B(3,4)．1（2）已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的坐标系，证明|AM||BC|．2B．与两条直线交点有关的问题1例（1）若直线yx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围2是1511A．6k2B．k0C．kD．k6222（2）过l1:3x5y100和l2:xy10的交点，且平行于l3:x2y50的直线方程为．精品学习资料可选择pdf第3页，共6页----------------------- 学习必备欢迎下载（3）求经过点(2,3)且经过l1:x3y40与l2:5x2y60的交点的直线方程．21x3y40,x2,解：（1）C．（2）x2y0．（3）联立得所以l1，l2的交点为(2,2)．由两点式可得：所求直线方程为85x2y60,y2.y3x2，即x4y100．2322变式求经过两直线l1:x2y40和l2:xy20的交点P，且与直线l3:3x4y50垂直的直线l的方程．x2y40,34解：解方程组得两直线交点P(0,2)，因为直线l3的斜率为，所以直线l的斜率为．xy20434所以直线l的方程为y2(x0)，即4x3y60．3C．距离公式应用例（1）已知点Mx(,4)与点N(2,3)间的距离为72，则x的值为．（2）已知点(,5)x关于点(1,)y的对称点为(2,3)，则点Pxy(,)到原点O的距离为．（3）已知A(3,4)，B(2,3)，在x轴上找一点P，使|PA||PB|，并求|PA|的值．解：（1）9或5．（2）17．222222（3）设点P的坐标为(,0)x，则有|PA|(x3)(04)x6x25，|PB|(x2)(03)x4x7．22999222109由|PA||PB|得x6x25x4x7，解得x．即所求点P的坐标为(,0)且|PA|(3)(04)．5555变式1已知A(3,4)，B(2,3)，在y轴上找一点P，使|PA||PB|，并求|PA|的值．222222解：设点P的坐标为(0,)y，则有|PA|3(y4)y8y25，|PB|(2)(y3)y6y13．2222由|PA||PB|得y8y25y6y13，解得y6．即所求点P的坐标为(0,6)且|PA|3(64)13．变式2在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(4,0)，C(3,1)，试判断三角形的形状．222222解：由两点间距离公式得，|AB|(14)(40)5，|BC|(43)(01)52，|AC|(13)(41)5．所以|AB||AC|，222且|AB||AC||BC|，故三角形为等腰直角三角形．D．由直线的位置关系求参数值或范围例（1）已知直线l1:2x(m1)y40与直线l2:mx3y20．（ⅰ）若l1∥l2，求m的值．（ⅱ）若l1l2，求m的值．精品学习资料可选择pdf第4页，共6页----------------------- 学习必备欢迎下载（2）．3结果：（1）（ⅰ）．（ⅱ）．．（2）（ⅰ）m3或m2．（ⅱ）m．5变式（1）．（2）已知直线l1:ax3y10，直线l2:x(a2)ya0．（ⅰ）若l1l2，求实数a的值．（ⅱ）若l1∥l2，求实数a的值．3结果：（1）（ⅰ）．（ⅱ）．．（2）（ⅰ）a．（ⅱ）a3．2E．解析法证明平面几何问题例（1）△ABC中，D是BC边上的任意一点（D与B，C不重合），22且|AB||AD||BD||DC|．求证：△ABC为等腰三角形．yyADCBODCxAOBx（2）已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，试建立适当的直角坐标系，证明：|AC||BD|．证明：（1）作AOBC，垂足为O，以BC边所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．222222设A(0,)h，Bb(,0)，Cc(,0)，Dd(,0)．已知|AB||AD||BD||DC|，则由两点间距离公式得bhdh(dbc)(d)，化简得(dbb)(d)(dbc)(d)．因为点D与B，C不重合，所以db0，于是bdcd，即bc．所以|OB||OC|，于是|AB||AC|，即△ABC为等腰三角形．（2）以下底AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系．设A(a,0)，Cbc(,)，由等腰梯形的性质可知：Ba(,0)，D(bc,)，则22222222|AC|(ba)(c0)(ab)c，|BD|(ab)(0c)(ab)c，所以|BD||AC|．变式1△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用解析法证明：|AE||CD|．解：以B为坐标原点，取AC所在的直线为x轴，以垂直于AC且经过B点的直线为y轴，建立平面直角坐标系．c3ca3a设△ABD和△BCE的边长分别为a和c，则A(a,0)，E(,)，Cc(,0)，D(,)，则2222c23c222a23a222|AE|[(a)](0)aacc，|CD|(c)(0)aacc，所以|AE||CD|．2222变式2证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．证明：如图，以顶点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0,0)．y精品学习资料可选择pdfDbc(,)Ca(第bc5,)页，共6页----------------------- 学习必备欢迎下载设Ba(,0)，Dbc(,)，由平行四边形的性质的点C的坐标为(abc,)．因为2222222222|AB|a，|CD|a，|AD|bc，|BC|bc，222222|AC|(ab)c，|BD|(ba)c，222222222222所以|AB||CD||AD||BC|2(abc)，|AC||BD|2(abc)，222222所以|AB||CD||AD||BC||AC||BD|．因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．精品学习资料可选择pdf第6页，共6页-----------------------