新人教A版必修2 高中数学 3.3.1 两直线的交点坐标 练习题

-.直线的交点坐标与距离公式习题〔含答案〕一、单项选择题1．满足时,的最大值为,那么直线过定点〔〕A．B．C．D．2．椭圆上的点到直线的最大距离为()．A．B．C．D．3．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线的顶点，假设其欧拉线的方程为，那么顶点的坐标为〔〕A．B．C．D．4．假设点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，那么k的值是()A．1B．-3C．1或D．-3或-.word.zl. -.5．直线和互相平行，那么实数m的取值为〔〕A．—1或3B．—1C．—3D．1或—36．在空间直角坐标系中，假设点，，点是点关于平面的对称点，那么A．B．C．D．7．直线与直线互相平行，那么〔〕A．6B．7C．8D．98．双曲线：的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且满足，那么的离心率满足〔〕A．B．C．D．9．点在直线上运动，那么的最小值为〔〕-.word.zl. -.A．B．C．D．5二、填空题10．直线的倾斜角为，直线：，假设，那么实数的值为__________．11．经过点且与直线垂直的直线方程为__________．12．设是函数图象上的动点，当点到直线的距离最小时，____.13．与直线平行，并且距离等于3的直线方程是__________．14．直线和直线互相垂直，那么实数的值为__________；15．直线与直线的距离是________．16．直线，直线，那么过定点_____________；当________时，与平行．17．实数满足-.word.zl. -.，那么的最大值为____________18．点关于直线的对称点是______.三、解答题19．如图：是圆与轴的交点，为直线上的动点，与圆的另一个交点分别为〔1〕假设点坐标为，求直线的方程；〔2〕求证：直线过定点.20．椭圆，是其左右焦点，为其左右顶点，为其上下顶点，假设，(1)求椭圆的方程；(2)过分别作轴的垂线，椭圆的一条切线，与交于二点，求证：．-.word.zl. -.21．的三个顶点，，．Ⅰ求BC边所在直线方程；-.word.zl. -.Ⅱ边上中线AD的方程为，且，求m，n的值．-.word.zl. -.22．光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点.(1)求点关于直线对称点的坐标；(2)求反射光线所在直线的一般式方程．23．直线；．〔1〕假设，求的值．〔2〕假设，且他们的距离为，求的值．24．选修:坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中,曲线:(为参数).以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为().(Ⅰ)求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；(Ⅱ)假设直线与,在第一象限分别交于,两点,为上的动点,求面积的最大值.25．如图，在平面直角坐标系中，圆：与轴的正半轴交于点，以点为圆心的圆：与圆交于，两点.〔1〕当时，求的长；〔2〕当变化时，求的最小值；〔3〕过点的直线与圆A切于点，与圆分别交于点，，假设点是的中点，试求直线的方程.-.word.zl. -.26．直线经过点，且斜率为．〔1〕求直线的方程．〔2〕求与直线平行，且过点的直线方程．〔3〕求与直线垂直，且过点的直线方程．27．如图，三角形的顶点为A(2,4)，B(0，－2)，C(－2,3)，求：(1)直线AB的方程；(2)AB边上的高所在直线的方程；(3)AB的中位线所在的直线方程．-.word.zl. -.参考答案1．A【解析】分析：由约束条件作出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到的关系，再代入直线由直线系方程得答案．详解：由，得，画出可行域，如下图，数学结合可知在点处取得最大值，，即：，直线过定点.应选A.点睛：此题考察了简单的线性规划，考察了数形结合的解题思想方法，考察了数学转化思想方法，属中档题．2．D【解析】椭圆方程为可设椭圆上的任意一点坐标为到直线的距离，-.word.zl. -.的最大值为，应选D.3．A【解析】【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标【详解】设C〔m，n〕，由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0①AB的中点为〔1，2〕，AB的中垂线方程为，即x-2y+3=0．联立解得∴△ABC的外心为〔-1，1〕．那么〔m+1〕2+〔n-1〕2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8 ②联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．-.word.zl. -.当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是〔-4，0〕．应选A【点睛】此题考察了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法：先设出直线的方程，再根据条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，两点坐标等．4．D【解析】【分析】由题得，解方程即得k的值.【详解】由题得，解方程即得k=-3或.故答案为：D【点睛】(1)此题主要考察点到直线的距离公式，意在考察学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2)点到直线的距离.5．B【解析】【分析】利用两直线平行的等价条件求得实数m的值.-.word.zl. -.【详解】∵两条直线x+my+6=0和〔m﹣2〕x+3y+2m=0互相平行，∴解得m=﹣1，应选：B．【点睛】两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可防止讨论：，，那么，．6．D【解析】【分析】由对称性先求点C的坐标为，再根据空间中两点之间距离公式计算。【详解】由对称性可知，点C的坐标为，-.word.zl. -.结合空间中两点之间距离公式可得：.应选D.【点睛】此题考察了空间中对称点的坐标关系及两点间距离公式，属于根底题。7．B【解析】【分析】根据它们的斜率相等，可得﹣=﹣2，解方程求a的值．【详解】∵直线与直线互相平行，∴它们的斜率相等，∴﹣=﹣2，∴a=7，应选B.【点睛】此题考察两直线平行的性质，两直线平行可得斜率相等．-.word.zl. -.8．D【解析】分析：联立圆与渐近线方程，求得M的坐标，由，得点在双曲线右支上，代入双曲线方程化简即可求．详解：由，得，即，由，，即由，化简得，即，应选D.点睛：此题考察双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，考察计算能力，属于中档题．9．C【解析】分析：的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，由点到直线的距离公式可得结果.详解：点是直线上的任意一点，又的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，-.word.zl. -.的最小值为原点到直线距离的平方，所求最小值为，应选C.点睛：此题考察点到直线的距离公式，意在考察转化与划归思想，是根底题.10．.【解析】分析：根据两直线平行的等价条件可得斜率的值．详解：∵直线的倾斜角为，∴直线的斜率为.又，∴．点睛：此题考察两直线平行的性质，即两直线的斜率存在时，那么两直线平行等价于两直线的斜率相等．11．【解析】设所求直线为，代入得，故所求直线方程为，填．12．【解析】【分析】-.word.zl. -.由点到直线的距离公式求得为何值时，距离最小．【详解】是函数图象上的动点，那么点到直线的距离为∴当时，取得最小值．故答案为：．【点睛】此题考察了点到直线的距离公式应用问题，是根底题．13．或.【解析】分析：设所求直线为3x+4y+m=0，直线3x+4y=5即为3x+4y﹣5=0，运用两平行直线的距离公式，得到m的方程计算即可得到所求方程．详解：设所求直线为3x+4y+m=0，直线3x+4y=5即为3x+4y﹣5=0，那么由平行直线的距离公式可得d=，解得m=10或﹣20．那么有所求直线为3x+4y+10=0，或3x+4y﹣20=0．故答案为：3x+4y+10=0，或3x+4y﹣20=0．点睛：这个题目考察的是平行线间的距离公式，考察了学生计算能力，较为根底，在使用两平行线的距离公式前，先将x,y的系数化为一样的.-.word.zl. -.14．-1【解析】【分析】利用直线垂直的性质求解．【详解】∵直线和直线互相垂直，∴〔a+3〕×1+1×〔a-1〕=0，解得a=-1．故答案为：-1．【点睛】两直线位置关系的判断：和的平行和垂直的条件属于常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：垂直：；平行：，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验！15．【解析】分析：把直线方程化为，利用两平行线之间的距离公式，即可求解结果．-.word.zl. -.详解：由直线，可化为，那么直线和直线之间的距离．点睛：此题主要考察了两平行线之间的距离的求解，其中熟记两平行线之间的距离公式是解答的关键，着重考察了学生的推理与运算能力．16．【解析】分析：将直线的方程变形为，令可得定点坐标；根据两直线平行的等价条件可得的值．详解：直线的方程变形为，令，解得，所以直线过定点．当与平行时，那么有，解得，-.word.zl. -.即时，与平行．点睛：直线过定点的问题实质上是恒成立的问题，判断直线过定点时，先把直线方程整理成〔为参数〕的形式，解方程组可得定点的坐标．17．【解析】【分析】根据题意，转化为圆上两个点到定直线距离和的最大值问题。根据两个点形成的夹角为60°，即可求得最大值。【详解】由题意可设因为，即，因为r=1，设OA与OB形成夹角为α，所以，即即为A、B到直线距离的和易知当AB∥时，A、B到直线距离的和取得最大值-.word.zl. -.此时原点O到AB的距离为O到直线的距离为所以A与B到直线的距离和为【点睛】此题考察了点与圆、点与直线的综合问题，关键分析出两个点的位置关系，在哪个位置时取得距离的最大值，属于难题。18．【解析】【分析】利用对称轴的性质布列方程组，即可得到结果.【详解】设点M〔﹣1，1〕关于直线l：x﹣y﹣1=0对称的点N的坐标〔x，y〕那么MN中点的坐标为〔，〕，利用对称的性质得：KMN==﹣1，且﹣﹣1=0，解得：x=2，y=﹣2，-.word.zl. -.∴点N的坐标〔2，﹣2〕，故答案为〔2，﹣2〕．【点睛】此题考察求点关于直线的对称点的坐标的方法，利用垂直关系、中点在轴上两个条件以及待定系数法求对称点的坐标．19．(1)(2)【解析】【分析】〔1〕直线PA方程为y=x+2，由解得M〔0，2〕，直线PB的方程y=3x-6，由解得，用两点式求得MN的方程．〔2〕设P〔4，t〕，那么直线直线PA的方程为,直线PB的方程为，解方程组求得M、N的坐标，从而得到MN的方程为，显然过定点〔1，0〕．【详解】(1)直线PA方程为,由解得,直线PB的方程,由解得,所以的方程-.word.zl. -.(2)设,那么直线PA的方程为,直线PB的方程为得,同理直线MN的斜率直线MN的方程为,化简得:所以直线过定点【点睛】此题主要考察直线过定点问题，求直线的方程，求两条直线的交点坐标，属于中档题．20．〔1〕；〔2〕见解析【解析】【分析】(1)解方程组即得椭圆的方程.(2)先证明-.word.zl. -.，所以同理可得，所以.【详解】(1)由题设知解得，，椭圆的方程为(2)由题设知，，与的方程联立消得与相切的得与、联立得，又-.word.zl. -.，即同理可得【点睛】(1)此题主要考察椭圆方程的求法，考察直线椭圆的位置关系，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答此题的关键是证明，所以21．(Ⅰ)；(Ⅱ)，或，.【解析】【分析】Ⅰ由斜率公式可得，结合点斜式方程整理计算可得BC边所在直线方程为.Ⅱ由题意可得，那么△ABC的BC边上的高，据此由点到直线距离公式和直线方程得到关于m,n的方程组，求解方程组可得，或，.【详解】-.word.zl. -.Ⅰ，，．，可得直线BC方程为，化简，得BC边所在直线方程为.Ⅱ由题意，得，，解之得，由点到直线的距离公式，得，化简得或，或.解得，或，.【点睛】此题主要考察直线方程的求解，点到直线距离公式的应用，方程的数学思想等知识，意在考察学生的转化能力和计算求解能力.22．〔1〕；〔2〕。-.word.zl. -.【解析】【分析】(1)根据对称点与A连线垂直直线，以及对称点与A中点在直线上列方程组解得结果，(2)根据对称性得反射光线所在直线经过A的对称点和，再根据点斜式求直线方程.【详解】〔Ⅰ〕设点关于直线l的对称点为，那么解得，即点关于直线l的对称点为．〔Ⅱ〕由于反射光线所在直线经过点和，所以反射光线所在直线的方程为即.【点睛】此题考察点关于直线对称点问题，考察根本求解能力.23．〔1〕；〔2〕，或-.word.zl. -.【解析】试题分析：〔1〕因为两条直线是相互垂直的，故，解得；〔2〕因为两条直线是相互平行的，故，解得．解析：设直线的斜率分别为，那么、．〔1〕假设，那么，∴〔2〕假设，那么，∴．∴可以化简为，∴与的距离为，∴或24．〔1〕〔2〕【解析】【分析】(Ⅰ)先求出曲线的普通方程,再把普通方程化为极坐标方程.再写出直线的直角坐标方程.(Ⅱ)先求出,再求出以为底边的的高的最大值为,再求面积的最大值.【详解】(Ⅰ)依题意得,曲线的普通方程为,-.word.zl. -.曲线的极坐标方程为,直线的直角坐标方程为．(Ⅱ)曲线的直角坐标方程为,设,,那么,即,得或(舍),,那么,到的距离为,以为底边的的高的最大值为,那么的面积的最大值为【点睛】(1)此题主要考察参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考察直线和圆的位置关系，考察面积的最值的求法，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.〔2-.word.zl. -.〕此题的解题的关键是求出.25．〔1〕〔2〕〔3〕【解析】分析：〔1〕根据半径，得到圆A的标准方程；因为B、C是两个圆的交点，联立两个圆可得到两个交点坐标，利用两点间距离公式即可求得BC的长。〔2〕根据圆A关于x轴对称，可设，代入到圆O中，用表示；根据向量数量积的坐标运算，得到，根据的取值围即可得到的最小值。〔3〕取的中点，连结，可知与相似，根据中点性质和勾股定理，在和中，联立方程求得r的值；设出直线方程，根据点到直线距离公式即可求出直线方程。详解：〔1〕当时，由得，〔2〕由对称性，设，那么-.word.zl. -.所以因为，所以当时，的最小值为〔3〕取的中点，连结，那么那么，从而，不妨记，在中即①在中即②由①②解得由题直线的斜率不为0，可设直线的方程为：，由点A到直线的距离等于那么，所以，从而直线-.word.zl. -.的方程为点睛：此题考察了直线与圆、圆与圆之间的位置关系，根据向量的数量积求最值问题，结合点到直线距离求直线方程，综合性强，属于难题。26．(1)(2)(3)【解析】试题分析：〔1〕写出直线的点斜式方程，整理成一般方程即可．〔2〕可设直线的一般方程为，代入点求出即可．〔3〕所求直线的斜率为，写出直线的点斜式方程，整理成一般方程即可．解析：〔1〕由题设有，整理得．〔2〕设所求直线方程为，代入点，解得，所以直线方程为．〔3〕所求直线方程为，化简得，所以直线方程为．27．〔1〕3x－y－2＝0.〔2〕x＋3y－7＝0.〔3〕6x－2y＋7＝0.【解析】【分析】〔1〕根据斜率公式和题意求出直线AB的斜率，再代入点斜式方程化为一般式即可；〔2〕设AB边上的高所在的直线方程为y＝－x＋m，由直线过点C(－2,3)，求出的值，可得AB边上的高所在直线的方程；〔3〕根据AB边的中位线与AB平行且过AC中点(0，)，求得AB-.word.zl. -.的中位线所在的直线方程.【详解】(1)由直线AB的斜率＝＝3，∴直线AB的方程为y＝3x－2，即3x－y－2＝0.(2)设AB边上的高所在的直线方程为y＝－x＋m，由直线过点C(－2,3)，∴3＝＋m，解得m＝，故所求直线为y＝－x＋，即x＋3y－7＝0.(3)AB边的中位线与AB平行且过AC中点(0，)，∴AB的中位线所在的直线方程为y＝3x＋，即6x－2y＋7＝0.【点睛】此题主要考察两条直线平行、垂直的性质，直线的斜率公式，用点斜式求直线的方程，属于根底题.-.word.zl.