2014届高考数学理科试题大冲关:直线的交点坐标、距离公式与对称问题一、选择题1.已知两点A(3,2)和B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则m的值等于( )A.0或- B.或-6C.-或D.0或2.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( )A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=03.P点在直线3x+y-5=0上,且P到直线x-y-1=0的距离为,则P点坐标为( )A.(1,2)B.(2,1)C.(1,2)或(2,-1)D.(2,1)或(-1,2)4.直线l1:3x+4y-7=0与直线l2:6x+8y+1=0间的距离为( )A.B.C.4D.85.使三条直线4x+y=4,mx+y=0,2x-3my=4不能围成三角形的m值最多有( )A.1个B.2个C.3个D.4个6.当直线y=kx与曲线y=|x|-|x-2|有3个公共点时,实数k的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,1]C.(1,+∞)D.[1,+∞)二、填空题7.过两直线x+3y-10=0和y=3x的交点,并且与原点距离为1的直线方程为________________.8.已知实数x、y满足2x+y+5=0,那么的最小值为9.函数y=a2x-2(a>0,a≠1)的图象恒过点A,若直线l:mx+ny-1=0经过点A,则坐标原点O到直线l的距离的最大值为________.三、解答题
10.已知直线l经过点P(3,1),且被两平行直线l1:x+y+1=0和l2:x+y+6=0截得的线段之长为5,求直线l的方程.[来源:学§科§网]11.已知两直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0.求分别满足下列条件的a,b的值.(1)直线l1过点(-3,-1),并且直线l1与l2垂直;(2)直线l1与直线l2平行,并且坐标原点到l1,l2的距离相等.12.两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),如果两条平行直线间的距离为d,求:(1)d的变化范围;(2)当d取最大值时,两条直线的方程.详解答案一、选择题1.解析:依题意得=,∴|3m+5|=|m-7|,∴3m+5=m-7或3m+5=7-m.
∴m=-6或m=.答案:B2.解析:由得交点A(1,1),且可知所求直线斜率为-.∴方程为x+2y-3=0.答案:D3.解析:设P(x,5-3x),则d==,|4x-6|=2,4x-6=±2,[来源:Z.xx.k.Com]∴x=1或x=2,∴P(1,2)或(2,-1).答案:C4.解析:因为直线l2的方程可化为3x+4y+=0.所以直线l1与直线l2的距离为=.答案:B5.解析:要使三条直线不能围成三角形,只需其中两条直线平行或者三条直线共点即可.若4x+y=4与mx+y=0平行,则m=4;若4x+y=4与2x-3my=4平行,则m=-;若mx+y=0与2x-3my=4平行,则m值不存在;若4x+y=4与mx+y=0及2x-3my=4共点,则m=-1或m=.综上可知,m值最多有4个.答案:D6.解析:依题意得,当x2时,y=x-(x-2)=2.在直角坐标系中画出该函数的图象(如图),将x轴绕着原点沿逆时针方向旋转,当旋转到直线恰好经过点(2,2)的过程中,相应的直线(不包括过点(2,2)的直线)与该函数的图象都有三个不同的交点,再进一步旋转,相应的直线与该函数的图象都不再有三个不同的交点,因此满足题意的k的取值范围是(0,1).答案:A
二、填空题7.解析:设所求直线为(x+3y-10)+λ(3x-y)=0,整理,得(1+3λ)x+(3-λ)y-10=0.由点到直线距离公式,得λ=±3.∴所求直线为x=1和4x-3y+5=0.答案:x=1或4x-3y+5=08.解析:表示点(x,y)到原点的距离.根据数形结合得的最小值为原点到直线2x+y+5=0的距离,即d==.答案:9.解析:法一:由指数函数的性质可得:函数y=a2x-2(a>2,a≠1)的图象恒过点A(1,1),而A∈l,∴m+n-1=0,即m+n=1,由基本不等式可得:m2+n2≥(m+n)2=.O到直线l的距离d=≤=,∴O到直线l的距离的最大值为.法二:∵直线l:mx+ny-1=0经过点A(1,1),∴坐标原点O到直线l的距离的最大值为|OA|=.答案:三、解答题10.解:法一:若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,此时与l1、l2的交点分别为A(3,-4)和B(3,-9),截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5.符合题意.若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y=k(x-3)+1.解方程组 得A(,-)解方程组 得B(,-)由|AB|=5,得(-)2+(-+)2=52.解之,得k=0,即所求的直线方程为y=1.综上可知,所求l的方程为x=3或y=1.法二:由题意,直线l1、l2之间的距离为d==,且直线l被平行直线l1、l2所截得的线段AB的长为5(如图所示),设直线l与直线l1的夹角为θ,
则sinθ==,故θ=45°.由直线l1:x+y+1=0的倾斜角为135°,知直线l的倾斜角为0°或90°,又由直线l过点P(3,1),故直线l的方程为x=3或y=1.11.解:(1)∵l1⊥l2,∴a(a-1)+(-b)·1=0,[来源:学&科&网]即a2-a-b=0.①又点(-3,-1)在l1上,∴-3a+b+4=0②由①②得a=2,b=2.(2)∵l1∥l2,∴=1-a,∴b=.故l1和l2的方程可分别表示为:(a-1)x+y+=0,(a-1)x+y+=0,又原点到l1与l2的距离相等.∴4=,∴a=2或a=,∴a=2,b=-2或a=,b=2.12.解:(1)当两条平行直线与AB垂直时,两平行直线间的距离最大,最大值为d=|AB|==3,当两条平行线各自绕点B,A逆时针旋转时,距离逐渐变小,越来越接近于0,所以0