新人教A版必修2 高中数学 3.3.1 两直线的交点坐标 练习题

.直线的交点坐标与距离公式习题（含答案）一、单选题x−2≥01．已知x,y满足y−2≥0,时,z=ax+bya≥b>0的最大值为2,则直线ax+by−x+y−8≤01=0过定点（）A．3,1B．−1,3C．1,3D．−3,12．椭圆上的点到直线x+2y−2=0的最大距离为()．A．3B．11C．22D．103．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知ΔABC的顶点A2,0,B0,4，若其欧拉线的方程为x−y+2=0，则顶点C的坐标为（）A．−4,0B．−3,−1C．−5,0D．−4,−24．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是()517A．1B．-3C．1或D．-3或335．已知直线x+my+6=0和(m−2)x+3y+2m=0互相平行，则实数m的取值为（）A．—1或3B．—1C．—3D．1或—36．在空间直角坐标系O−xyz中，若点A(1,2,1)，B(−3,−1,4)，点C是点A关于xOy平面的对称点，则|BC|=A．22B．26C．42D．527．已知直线(a−1)x+3y+7=0与直线2x+y−3=0互相平行，则a=（）A．6B．7C．8D．9x2y28．已知双曲线C：a2−b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P，且P满足|PF1|−|PF2|=2b，则C的离心率e满足（）A．e2−3e+1=0B．e4−3e2+1=0C．e2−e−1=0D．e4−e2−1=09．已知点P(m,n)在直线2x+y+1=0上运动，则m2+n2的最小值为（）51A．B．5C．D．555. .二、填空题π10．已知直线m的倾斜角为，直线l：kx−y=0，若l//m，则实数k的值为__________．311．经过点M2,1且与直线3xy80垂直的直线方程为__________．12．设P(n,n2)是函数y=x2图象上的动点，当点P到直线y=x−1的距离最小时，n=____.13．与直线3x+4y=5平行，并且距离等于3的直线方程是__________．14．已知直线a+3x+y−4=0和直线x+a−1y+4=0互相垂直，则实数a的值为__________；15．直线2x−y−1=0与直线6x−3y+10=0的距离是________．16．已知直线l1:ax−2y−1=0，直线l2:3x+y−2=0，则l1过定点_____________；当a=________时，l1与l2平行．17．已知实数x,x,y,y满足x2+y2=1,x2+y2=1,xx+yy=1，则x1+y1−1+12121122121222x2+y2−1的最大值为____________218．点(−1,1)关于直线x−y−1=0的对称点是______.三、解答题19．如图：已知A,B是圆x2+y2=4与x轴的交点，P为直线l:x=4上的动点，PA,PB与圆的另一个交点分别为M,N.（1）若P点坐标为(4,6)，求直线MN的方程；（2）求证：直线MN过定点.x2y220．已知椭圆C:a2+b2=1(a>b>0)，F1、F2是其左右焦点，A1、A2为其左右顶点，πB1、B2为其上下顶点，若∠B1F2O=，|F1A1|=2−36(1)求椭圆C的方程；. .(2)过A1、A2分别作x轴的垂线l1、l2，椭圆C的一条切线l:y=kx+m(k≠0)，l与l1、l2交于M、N二点，求证：∠MF1N=∠MF2N．21．已知△ABC的三个顶点A(m,n)，B(2,1)，C(−2,3)．(Ⅰ)求BC边所在直线方程；(Ⅱ)BC边上中线AD的方程为2x−3y+6=0，且S△ABC=7，求m，n的值．22．光线通过点A(2,3)，在直线l:x+y+1=0上反射，反射光线经过点B(1,1).(1)求点A(2,3)关于直线l对称点的坐标；(2)求反射光线所在直线的一般式方程．23．已知直线l:2xy20；l:mx4yn0．12（1）若ll，求m的值．12（2）若l//l，且他们的距离为5，求m,n的值．1224．选修4−4:坐标系与参数方程选讲x=2+7cosα在直角坐标系xOy中,曲线C1:(α为参数).以O为极点,x轴的正半轴y=7sinα为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=8cosθ,直线l的极坐标方程为πθ=(ρ∈R).3(Ⅰ)求曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l与C1,C2在第一象限分别交于A,B两点,P为C2上的动点,求ΔPAB面积的最大值.25．如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=4与x轴的正半轴交于点A，以点A为圆心的圆A：x−22+y2=r2r>0与圆O交于B，C两点.（1）当r=2时，求BC的长；（2）当r变化时，求AB·AC的最小值；（3）过点P6,0的直线l与圆A切于点D，与圆O分别交于点E，F，若点E是DF的中点，试求直线l的方程.. .326．已知直线l经过点P2,5，且斜率为．4（1）求直线l的方程．（2）求与直线l平行，且过点2,3的直线方程．（3）求与直线l垂直，且过点2,3的直线方程．27．如图，已知三角形的顶点为A(2,4)，B(0，－2)，C(－2,3)，求：(1)直线AB的方程；(2)AB边上的高所在直线的方程；(3)AB的中位线所在的直线方程．. .参考答案1．A【解析】分析：由约束条件作出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b的关系，再代入直线ax+by−1=0由直线系方程得答案．aza详解：由z=ax+by(a≥b>0)，得y=−x+−≤−1，bbb画出可行域，如图所示，数学结合可知在点B6,2处取得最大值，6a+2b=2，即：3a+b=1，直线ax+by−1=0过定点3,1.故选A.点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，属中档题．2．Dx2y2【解析】∵椭圆方程为+=1,∴可设椭圆上的任意一点P坐标为4cosα,2sinα,∴P164π4cosα+2×2sinα−242sinα+4−2到直线x+2y−2=0的距离d==，∵−42≤12×225ππ42sinα+−2442sinαα+≤42,∴0≤≤10,∴d的最大值为10，故选D.453．A【解析】【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标【详解】2+m4+n2+m4+n设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为,代入欧拉线方程得：−+33332=0整理得：m-n+4=0①. .4−01AB的中点为（1，2），kAB==−2AB的中垂线方程为y−2=x−1，0−22x−2y+3=0x=−1即x-2y+3=0．联立解得x−y+2=0y=1∴△ABC的外心为（-1，1）．则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8②联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等．4．D【解析】【分析】|2×5−12k+6|由题得=4，解方程即得k的值.52+(−12)2【详解】|2×5−12k+6|17由题得=4，解方程即得k=-3或.52+(−12)23故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能Ax0+By0+C力.(2)点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.A2+B25．B【解析】【分析】利用两直线平行的等价条件求得实数m的值.【详解】∵两条直线x+my+6=0和（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，1×3−mm﹣2=0∴2m−6（m﹣2）≠0. .解得m=﹣1，故选：B．【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论：已知l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，A1B2−A2B1=0则l1//l2⇔，A1C2−A2C1≠0l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0．6．D【解析】【分析】由对称性先求点C的坐标为1,2,−1，再根据空间中两点之间距离公式计算|BC|。【详解】由对称性可知，点C的坐标为1,2,−1，结合空间中两点之间距离公式可得：BC=−3−12+−1−22+4+12=52.故选D.【点睛】本题考查了空间中对称点的坐标关系及两点间距离公式，属于基础题。7．B【解析】【分析】a−1根据它们的斜率相等，可得﹣=﹣2，解方程求a的值．3【详解】∵直线(a−1)x+3y+7=0与直线2x+y−3=0互相平行，∴它们的斜率相等，a−1∴﹣=﹣2，3∴a=7，故选B.【点睛】. .本题考查两直线平行的性质，两直线平行可得斜率相等．8．D【解析】分析：联立圆与渐近线方程，求得M的坐标，由PF1−PF2=2b，得点P在双曲线右支上，代入双曲线方程化简即可求．详解：by=xx2=a2由a，得，即Pa,b，由PF1−PF2=2b，，即(a+c)2+b2−22x2+y2=c2y=b(a−c)2+b2=2b，由b2=a2−c2，e=c，a化简得c4−a2c2−a4=0，即e4−e2−1=0，故选D.点睛：本题考查双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．9．C【解析】分析：m2+n2的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，由点到直线的距离公式可得结果.详解：∵点Pm,n是直线2x+y+1=0上的任意一点，又m2+n2的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，∴m2+n2的最小值为原点到直线距离的平方，211∴所求最小值为=，故选C.22+125点睛：本题考查点到直线的距离公式，意在考查转化与划归思想，是基础题.10．3.【解析】分析：根据两直线平行的等价条件可得斜率k的值．π详解：∵直线m的倾斜角为，3π∴直线m的斜率为tan=3.3又l//m，∴k=3．点睛：本题考查两直线平行的性质，即两直线的斜率存在时，则两直线平行等价于两直线的斜率相等．11．x3y50. .【解析】设所求直线为x3ym0，代入2,1得m5，故所求直线方程为x3y50，填x3y50．112．2【解析】【分析】由点到直线的距离公式求得n为何值时，距离最小．【详解】P(n,n2)是函数y=x2图象上的动点，123|n−n2−1||(n−2)+4|则点P到直线y=x−1的距离为d==，221∴当n=时，d取得最小值．21故答案为：．2【点睛】本题考查了点到直线的距离公式应用问题，是基础题．13．3x+4y+10=0或3x+4y−20=0.【解析】分析：设所求直线为3x+4y+m=0，直线3x+4y=5即为3x+4y﹣5=0，运用两平行直线的距离公式，得到m的方程计算即可得到所求方程．详解：设所求直线为3x+4y+m=0，直线3x+4y=5即为3x+4y﹣5=0，|m+5|则由平行直线的距离公式可得d==3，5解得m=10或﹣20．则有所求直线为3x+4y+10=0，或3x+4y﹣20=0．故答案为：3x+4y+10=0，或3x+4y﹣20=0．点睛：这个题目考查的是平行线间的距离公式，考查了学生计算能力，较为基础，在使用两平行线的距离公式前，先将x,y的系数化为一样的.14．-1【解析】【分析】. .利用直线垂直的性质求解．【详解】∵直线a+3x+y−4=0和直线x+a−1y+4=0互相垂直，∴（a+3）×1+1×（a-1）=0，解得a=-1．故答案为：-1．【点睛】两直线位置关系的判断：l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的平行和垂直的条件属于常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：垂直：A1A2+B1B2=0；平行：A1B2=A2B1，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验！1315．515【解析】分析：把直线方程2x−y−1=0化为6x−3y−3=0，利用两平行线之间的距离公式，即可求解结果．详解：由直线2x−y−1=0，可化为6x−3y−3=0，−3−613则直线6x−3y−3=0和直线6x−3y+10=0之间的距离d==5．62+(−3)215点睛：本题主要考查了两平行线之间的距离的求解，其中熟记两平行线之间的距离公式是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．116．(0,−)−232【解析】分析：将直线l1的方程变形为ax−(2y+1)=0，令x=0且2y+1=0可得定点坐标；根据两直线平行的等价条件可得a的值．详解：直线l1的方程变形为ax−(2y+1)=0，x=0x=0令，解得1，2y+1=0y=−21所以直线l1过定点(0,−)．2a当l1与l2平行时，则有=−2，3解得a=−23，即a=−23时，l1与l2平行．点睛：直线过定点的问题实质上是恒成立的问题，判断直线过定点时，先把直线方程整理成. .fx,y=0fx,y+kgx,y=0（k为参数）的形式，解方程组可得定点的坐标．gx,y=017．3+2【解析】【分析】根据题意，转化为圆上两个点到定直线距离和的最大值问题。根据两个点形成的夹角为60°，即可求得最大值。【详解】由题意可设Ax1,y1,Bx2,y21因为x1x2+y1y2=，即21OA⋅OB=，因为r=1，设OA与OB形成夹角为α，21π所以OA⋅OB=OAOBcosα=，即α=23x1+y1−1x2+y2−1+即为A、B到直线l:x+y−1=0距离的和22易知当AB∥l时，A、B到直线l:x+y−1=0距离的和取得最大值213此时原点O到AB的距离为d=12−=22222O到直线l的距离为d=12−=2232所以A与B到直线l的距离和为2×+=3+222【点睛】本题考查了点与圆、点与直线的综合问题，关键分析出两个点的位置关系，在哪个位置时取得距离的最大值，属于难题。18．2,−2【解析】【分析】利用对称轴的性质布列方程组，即可得到结果.【详解】设点M（﹣1，1）关于直线l：x﹣y﹣1=0对称的点N的坐标（x，y）x−1y+1则MN中点的坐标为（，），22. .y−1x−1y+1利用对称的性质得：KMN==﹣1，且﹣﹣1=0，x+122解得：x=2，y=﹣2，∴点N的坐标（2，﹣2），故答案为（2，﹣2）．【点睛】本题考查求点关于直线的对称点的坐标的方法，利用垂直关系、中点在轴上两个条件以及待定系数法求对称点的坐标．19．(1)y=−2x+2(2)(1,0)【解析】【分析】y=x+2y=3x−6（1）直线PA方程为y=x+2，由解得M（0，2），直线PB的方程y=3x-6，由x2+y2=4x2+y2=486解得N(,−)，用两点式求得MN的方程．55tt（2）设P（4，t），则直线直线PA的方程为y=(x+2),直线PB的方程为y=(x−2)628t8t，解方程组求得M、N的坐标，从而得到MN的方程为y=x−，显然过定点（1，0）．12−t212−t2【详解】y=x+2(1)直线PA方程为y=x+2,由解得M(0,2),x2+y2=4y=3x−686直线PB的方程y=3x−6,由解得N(,−),x2+y2=455所以MN的方程y=−2x+2tt(2)设p(4,t),则直线PA的方程为y=(x+2),直线PB的方程为y=(x−2)62x2+y2=472−2t224t2t2−8−8tt得M(36+t2,36+t2),同理N(4+t2,4+t2)y=(x+2)624t−8t−直线MN的斜率k=36+t24+t2=8t72−2t22t2−812−t2−36+t24+t28t2t2−88t直线MN的方程为y=(x−)−,12−t24+t24+t28t8t化简得:y=x−12−t212−t2所以直线MN过定点(1,0). .【点睛】本题主要考查直线过定点问题，求直线的方程，求两条直线的交点坐标，属于中档题．x220．（1）+y2=1；（2）见解析4【解析】【分析】3c=a2−2k+m2k+mm2−4k2(1)解方程组a−c=2−3即得椭圆的方程.(2)先证明kMF1⋅kNF1=−2+3⋅2+3=−1=−a2=b2+c2ππ1，所以∠MF1N=，同理可得∠MF2N=，所以∠MF1N=∠MF2N.22【详解】3c=a2(1)由题设知解得a=2，b=1，c=3a−c=2−3a2=b2+c2x2∴椭圆C的方程为+y2=14(2)由题设知，l1:x=−2，l2:x=2l与C的方程联立消y得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2−1)=0⋯“∗”∵l与C相切∴“∗”的Δ=64k2m2−16(1+4k2)(m2−1)=0得m2−4k2=1l与l1、l2联立得M(−2，−2k+m)，N(2，2k+m)又F1(−3，0)、F2(3，0)−2k+m2k+mm2−4k2∴kMF1⋅kNF1=⋅=−1=−1−2+32+3π∴MF1⊥NF1，即∠MF1N=2π同理可得∠MF2N=2∴∠MF1N=∠MF2N【点睛】(1)本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的−2k+m2k+mm2−4k2掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键是证明kMF1⋅kNF1=−2+3⋅2+3=−1=. .π−1，所以∠MF1N=.221．(Ⅰ)x+2y−4=0；(Ⅱ)m=3，n=4或m=−3，n=0.【解析】【分析】1(Ⅰ)由斜率公式可得kBC=−，结合点斜式方程整理计算可得BC边所在直线方程为x+2y−24=0.7(Ⅱ)由题意可得|BC|=25，则△ABC的BC边上的高h=，据此由点到直线距离公式和直5线方程得到关于m,n的方程组，求解方程组可得m=3，n=4或m=−3，n=0.【详解】3−11(Ⅰ)∵B(2，1)，C(−2,3)．∴kBC==−，−2−221可得直线BC方程为y−3=−(x+2)，2化简，得BC边所在直线方程为x+2y−4=0.(Ⅱ)由题意，得|BC|=(2+2)2+(1−3)2=25，17∴S△ABC=|BC|⋅h=7，解之得h=，25|m+2n−4|7由点到直线的距离公式，得=，1+45化简得m+2n=11或m+2n=−3，m+2n=11m+2n=−3∴2m−3n+6=0或2m−3n+6=0.解得m=3，n=4或m=−3，n=0.【点睛】本题主要考查直线方程的求解，点到直线距离公式的应用，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22．（1）(−4,−3)；（2）4x−5y+1=0。【解析】【分析】(1)根据对称点与A连线垂直直线l，以及对称点与A中点在直线l上列方程组解得结果，(2)根据对称性得反射光线所在直线经过A的对称点A0(−4,−3)和B(1,1)，再根据点斜式求直线方程.. .【详解】y0−3=1x0−2（Ⅰ）设点A(2，3)关于直线l的对称点为A0(x0,y0)，则2+x0+3+y0+1=022解得x0=−4,y0=−3，即点A(2，3)关于直线l的对称点为A0(−4,−3)．（Ⅱ）由于反射光线所在直线经过点A0(−4,−3)和B(1,1)，所以反射光线所在直线的方程4为y−1=(x−1)即4x−5y+1=0.5【点睛】本题考查点关于直线对称点问题，考查基本求解能力.23．（1）m2；（2）m8，n28或12m【解析】试题分析：（1）因为两条直线是相互垂直的，故kk1，解得m2；122m（2）因为两条直线是相互平行的，故2，解得m8．4m解析：设直线l,l的斜率分别为k,k，则k2、k．1212124m（1）若ll，则kk1，∴m212122m（2）若l//l，则2，∴m8．124n∴l可以化简为2xy0，24n24∴l与l的距离为5，∴n28或1212524．（1）y=3x（2）2+3【解析】【分析】(Ⅰ)先求出曲线C1的普通方程,再把普通方程化为极坐标方程.再写出直线的直角坐标方程.(Ⅱ)先求出AB=ρ2−ρ1=1,再求出以AB为底边的ΔPAB的高的最大值为4+23,再求ΔPAB面积的最大值.【详解】(Ⅰ)依题意得,曲线C的普通方程为x−22+y2=7,1曲线C的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ−3=0,1. .直线l的直角坐标方程为y=3x．22ππ(Ⅱ)曲线C2的直角坐标方程为x−4+y=16,设Aρ1,,Bρ2,,332π2则ρ1−4ρ1cos3−3=0,即ρ1−2ρ1−3=0,得ρ1=3或ρ1=−1(舍),πρ2=8cos=4,则AB=ρ2−ρ1=1,343C24,0到l的距离为d==23,以AB为底边的ΔPAB的高的最大值为4+23,41则ΔPAB的面积的最大值为×1×4+23=2+32【点睛】(1)本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线和圆的位置关系，考查面积的最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）本题的解题的关键是求出AB=ρ2−ρ1=1.25．（1）7（2）−2（3）x±3y−6=0【解析】分析：（1）根据半径，得到圆A的标准方程；因为B、C是两个圆的交点，联立两个圆可得到两个交点坐标，利用两点间距离公式即可求得BC的长。（2）根据圆A关于x轴对称，可设B（x0,y0)、C（x0,-y0)，代入到圆O中，用y0表示x0；根据向量数量积的坐标运算，得到AB⋅AC=2(x−1)2−2，根据x的取值范围即可得到AB⋅00AC的最小值。（3）取EF的中点G，连结OG、AD、OF，可知ΔADP与ΔOGP相似，根据中点性质和勾股定理，在RtΔOFG和RtΔADP中，联立方程求得r的值；设出直线方程，根据点到直线距离公式即可求出直线方程。详解：（1）当r=2时，x2+y2=43737由得，B,,C,−,BC=7x−22+y2=22222（2）由对称性，设B（x0,y0)、C（x0,-y0)，则x02+y02=4所以AB⋅AC=（x−2)2−y200. .=（x−2)2−(4−x2)=2(x−1)2−2000因为−2