第3节 直线的交点坐标与距离公式

1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 1．两条直线的交点直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 2．几种距离 [思考探究]如何求点P(x0，y0)到直线x＝a和y＝b的距离？提示：点P(x0，y0)到直线x＝a和y＝b的距离分别是|x0－a|和|y0－b|. 1．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)可能是()A．(1，－3)B．(3，－1)C．(－3,1)D．(－1,3)解析：由得∴m＋2n＋5＝0.∴点(m，n)可能是(1，－3)．答案：A 2．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|的值为()A．6B.C．2D．不能确定解析：kAB＝＝b－a＝1，∴|AB|＝答案：B 3．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A.B．2－C.－1D.＋1解析：由题意知＝1，又a>0，∴a＝－1.答案：C 4．点P(4cosθ，3sinθ)到直线x＋y－6＝0的距离的最小值等于________．解析：d＝答案： 5．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为________________．解析：设l1的方程为x＋y＋C＝0，则，∴C＝1或C＝－3，∴l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.答案：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0 1.判定两条直线相交的方法(1)代数法．解两条直线方程组成的方程组，利用解的个数来判断．(2)几何法．①利用斜率：若k1≠k2⇒l1与l2相交．②利用系数比：若⇒l1与l2相交． 2．经过两条直线交点的直线系方程经过两相交直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(这个直线系方程中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程.[思路点拨] [课堂笔记]法一：由方程组得，即P(0,2)．∵l⊥l3，∴kl＝－，∴直线l的方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.法二：∵直线l过直线l1和l2的交点，∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0.即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，∵l与l3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0. 本例中，若把条件中“垂直”改为“平行”，求直线l的方程.解：法一：同例题中的法一，先求出交点为(0,2)，又l∥l3，∴kl＝，故直线l的方程为y－2＝x，即3x－4y＋8＝0. 法二：设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0.即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.∵l∥l3，∴，解得λ＝.∴l的方程为3x－4y＋8＝0. 1.中心对称(1)若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得(2)直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1∥l2，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称(1)点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1P2的直线垂直于对称轴l，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)． (2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行． 求直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程．[思路点拨] [课堂笔记]设所求直线上一点为P(x，y)，则在直线l1上必存在一点P1(x0，y0)与点P关于直线l对称．由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点P2(，)在直线l上．∴，变形得，代入直线l1：y＝2x＋3得x＋1＝2(y－1)＋3，整理得x－2y＝0.所以所求直线方程为x－2y＝0. 1.求点到直线的距离，一般先把直线方程化为一般式．2．求两条平行线间的距离有两种思路：(1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)直接利用两条平行线间的距离公式d＝. [特别警示]利用两条平行线间距离公式时，必须将两直线方程化为系数相同的一般式后才能套用公式计算． 已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a＞0)，直线l2：－4x＋2y＋1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是；若能，求P点坐标；若不能，说明理由． [思路点拨] [课堂笔记](1)l2即2x－y－＝0，∴l1与l2的距离d＝，∴∵a＞0，∴a＝3. (2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1、l2平行的直线l′：2x－y＋C＝0上，且，即C＝或C＝，∴2x0－y0＋＝0，或2x0－y0＋＝0；若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，有＝ 即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；由于P在第一象限，∴3x0＋2＝0不可能．联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，解得应舍去．由解得∴P即为同时满足三个条件的点． 本节内容在高考中多以选择、填空的形式考查，重点是求两直线的交点、求点到直线的距离.同时，转化思想在解距离问题中要注意应用. [考题印证](2010·烟台模拟)已知x＋y＋1＝0，则的最小值为______．【解析】的几何意义即为点(x，y)与点(1,1)间的距离，由此问题可转化为求点(1,1)到直线x＋y＋1＝0的距离．∴d＝.【答案】 [自主体验]若点P(x，y)满足－＝5，则的取值范围是_______． 解析：若设A(1,2)，B(4,6)，则依题意有|PA|－|PB|＝5，而|AB|＝5，即有|PA|－|PB|＝|AB|，因此P点在线段AB的延长线上，而表示经过两点M(－4,2)和P(x，y)的直线的斜率，kMB＝，由图可知，的取值范围是[，＋∞)．答案：[，＋∞) 1．若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，－1)，则直线l的斜率是()A．－B.C．－D. 解析：设M(x1,1)，N(x2，y2)，则y2＝－3，从而x2＝4，即N(4，－3)，∴kl＝.答案：A 2．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是()A．(－a－1，－b－1)B．(－b－1，－a－1)C．(－a，－b)D．(－b，－a)解析：设对称点为(x0，y0)，则有，解得.答案：B 3．点P(m－n，－m)到直线＝1的距离等于()A.B.C.D.解析：因为直线＝1可化为nx＋my－mn＝0，则由点到直线的距离公式，得d＝答案：A 4．点P到直线y＝x－2的距离等于11，则点P的坐标(x，y)应满足的关系式为______________．解析：y＝x－2⇒x－y－2＝0，∴11＝，∴x－y＝24或x－y＝－20.答案：x－y＝24或x－y＝－20 5．已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为______________．解析：显然l1∥l2，可设l的方程为2x－y＋m＝0，由题意知，解得m＝1，从而直线l方程为2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝0 6．求过点M(－2,1)，且与A(－1,2)，B(3,0)两点距离相等的直线的方程．解：当直线斜率不存在时，不存在符合题意的直线．当直线斜率存在时，设直线的方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0，由条件有，∴k＝0或k＝－.故所求的直线方程为y＝1或x＋2y＝0.