第二课时 两直线的交点坐标、两点间的距离(习题课)1．两条直线的交点坐标如何求？2．如何根据方程组的解判断两直线的位置关系？3．平面内两点间的距离公式是什么？4．过定点的直线系方程有什么特点？5．如何用坐标法解决几何问题？6．点关于点的对称点，点关于线的对称点如何求？[例1] 过点M(0,1)作直线，使它被两已知直线l1：x－3y＋10＝0和l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线的方程．[解] 法一：过点M与x轴垂直的直线显然不合要求，故设所求直线方程为y＝kx＋1.若与两已知直线分别交于A，B两点，则解方程组和可得xA＝，xB＝.由题意＋＝0，∴k＝－.故所求直线方程为x＋4y－4＝0.法二：设所求直线与两已知直线分别交于A、B两点，点B在直线2x＋y－8＝0上，故可设B(t,8－2t)，由中点坐标公式得A(－t,2t－6)．
又因为点A在直线x－3y＋10＝0上，所以(－t)－3(2t－6)＋10＝0，得t＝4，即B(4,0)．由两点式可得所求直线方程为x＋4y－4＝0.[类题通法]两条直线的交点坐标就是联立两条直线方程所得的方程组的解．解法一体现了方程思想，要学会利用．[活学活用]1．若直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第四象限，求m的取值范围．解：由方程组得即两直线的交点坐标为.∵此交点在第四象限，∴解得－＜m＜2.故所求m的取值范围是.[例2] 一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程．[解] 设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得解得∴A的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3.由方程组解得由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y＝3(x≤)．[类题通法]1．点关于直线对称的点的求法点N(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)可由方程组求得．2．直线关于直线的对称的求法
求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l1上任取两点P1和P2，求出P1、P2关于直线l的对称点，再用两点式求出l2的方程．[活学活用]2．与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0D．2x＋3y＋8＝0解析：选D 由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，则可设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0.在直线2x＋3y－6＝0上任取一点(3,0)，关于点(1，－1)对称点为(－1，－2)，则点(－1，－2)必在所求直线上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，C＝8.∴所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.坐标法的应用[例3] 一长为3m，宽为2m缺一角A的长方形木板(如图所示)，长缺0.2m，宽缺0.5m，EF是直线段，木工师傅要在BC的中点M处作EF延长线的垂线(直角曲尺长度不够)，应如何画线？[解] 以AB所在直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立直角坐标系，则E(0.2,0)，F(0,0.5)，B(3,0)，D(0,2)，M(3,1)，所以EF所在直线斜率k＝＝－.∵所求直线与EF垂直，∴所求直线斜率为k′＝，又直线过点M(3,1)，所以所求直线方程为y－1＝(x－3)．令y＝0，则x＝0.5，所以所求直线与x轴交点为(0.5,0)，故应在EB上截|EN|＝0.3m，得点N，即得满足要求的直线MN.[类题通法]1．坐标法解决实际应用题，首先通过建立模型将它转化为数学问题．
2．用坐标法解决几何问题，首先要建立适当的坐标系，用坐标表示有关量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．[活学活用]3．已知等腰梯形ABCD，建立适当的坐标系，证明：对角线|AC|＝|BD|.证明：如右图，以等腰梯形ABCD的下底AB所在直线为x轴，以AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，设梯形下底|AB|＝2a，上底|CD|＝2b，高为h，则A(－a,0)，B(a,0)，C(b，h)，D(－b，h)，由两点间的距离公式得：|AC|＝＝，|BD|＝＝，所以|AC|＝|BD|. [典例] 在x轴上求一点P，使得(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大，并求出最大值；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小，并求出最小值．[解题流程]①三角形的两个顶点知道，第三个顶点在x轴上；②三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边.在x轴上求点P，使|PA|－|PB|或|PB|－|PA|最大，以及|PA|＋|PC|最小，应首先画出图形，利用对称性及三角形三边关系求解.[规范解答]如图，(1)直线BA与x轴交于点P，此时P为所求点，(2分)
且|PB|－|PA|＝|AB|＝＝5.(3分)∵直线BA的斜率kBA＝＝－，(4分)∴直线BA的方程为y＝－x＋4.令y＝0得x＝，即P.故距离之差最大值为5，此时P点的坐标为，(6分)(2)作A关于x轴的对称点A′，则A′(4，－1)，连接CA′，则|CA′|为所求最小值，直线CA′与x轴交点为所求点．(7分)又|CA′|＝＝，(9分)直线CA′的斜率kCA′＝＝－5，则直线CA′的方程为y－4＝－5(x－3)．令y＝0得x＝，即P.(11分)故距离之和最小值为，此时P点的坐标为.(12分)[名师批注]若在x轴上另取一点P′，则|P′B|－|P′A|＜|BA|，因此，|AB|为最大值 由A、C点在x轴同侧，可作A关于x轴的对称点A′(也可作C关于x轴对称点C′)，转化为|CA′|为最小值，若再找一点P0，则|P0A|＋|P0C|＝|P0A′|＋|P0C|＞|A′C|[活学活用]求函数f(x)＝＋的最小值．解：由于f(x)＝＋＝＋，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则可把问题转化为在x轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|取得最小值，作A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，连接A′B.由图可直观得出|PA|＋|PB|的最小值为|BA′|＝＝5，即f(x)的最小值为5.
[随堂即时演练]1．(2012·济宁高一检测)已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )A．2 B．4C．5D.解析：选D 根据中点坐标公式得到＝1且＝y，解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝＝.2．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为( )A．{3，－1}B．3，－1C．(3，－1)D．{(3，－1)}解析：选D 由题意解得3．经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为________．解析：由方程组得又所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，故k＝，∴直线方程为y＋＝(x＋)，即5x－15y－18＝0.答案：5x－15y－18＝04．点A(4,5)关于直线l的对称点为B(－2,7)，则直线l的方程为________．解析：由题意知，设直线l的斜率为k，则k·kAB＝－1，且直线l过AB中点，又kAB＝＝－，则k＝3，AB中点为(1,6)，所以直线l的方程为y－6＝3(x－1)，即3x－y＋3＝0.答案：3x－y＋3＝05．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在的直线为坐标轴，建立如右图所示的平面直角坐标系．设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)．
因为斜边BC的中点为M，所以点M的坐标为，即.由两点间的距离公式，得|BC|＝＝，|AM|＝ ＝，所以|AM|＝|BC|.[课时达标检测]一、选择题1．点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是( )A．(－2,1)B．(－2,5)C．(2，－5)D．(4，－3)解析：选B 设对称点坐标为(a，b)，满足解得即Q(－2,5)．2．两条直线2x－my＋4＝0和2mx＋3y－6＝0的交点在第二象限，则m的取值范围是( )A.B.C.D.解析：选C 解出两直线的交点为，由交点在第二象限，得，解得m∈.3．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离是( )A．5B．2C．5D．10解析：选C 根据光学原理，光线从A到B的距离，等于点A关于x轴的对称点A′到点B的距离，易求得A′(－3，－5)．所以|A′B|＝＝5.
4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于( )A．－2B．－C．2D.解析：选B 解方程组得代入方程x＋ky＝0得－1－2k＝0，所以k＝－，选B.5．若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为( )A．－3，－4B．3,4C．4,3D．－4，－3解析：选B 由方程组得交点B(1,2)，代入方程ax＋by－11＝0中，有a＋2b－11＝0 ①，又直线ax＋by－11＝0平行于直线3x＋4y－2＝0，所以－＝－ ②，≠ ③.由①②③，得a＝3，b＝4.二、填空题6．点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是________．解析：设对称点坐标是(a，b)，则解得a＝－4，b＝－1，即所求对称点坐标是(－4，－1)．答案：(－4，－1)7．直线ax＋by－2＝0，若满足3a－4b＝1，则必过定点________．解析：由3a－4b＝1，解出b，代入ax＋by－2＝0，得a(4x＋3y)＝y＋8.令解得答案：(6，－8)8．已知A(2,1)，B(1,2)，若直线y＝ax与线段AB相交，则实数a的取值范围是________．解析：如图，直线y＝ax的斜率为a且经过原点O，∵直线y＝ax与线段AB相交，∴实数a的最小值为OA的斜率，最大值为OB的斜率，OA的斜率为，OB的斜率为2，故实数a的取值范围是.
答案：三、解答题9．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程．解：若l与x轴垂直，则l的方程为x＝1，由得B点坐标(1,4)，此时|AB|＝5，∴x＝1为所求；当l不与x轴重直时，可设其方程为y＋1＝k(x－1)．解方程组得交点B(，)(k≠－2)．由已知＝5，解得k＝－.∴y＋1＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.综上可得，所求直线l的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.10．某地东西有一条河，南北有一条路，A村在路西3公里、河北岸4公里处；B村在路东2公里、河北岸公里处．两村拟在河边建一座水力发电站，要求发电站到两村距离相等，问发电站建在何处？到两村的距离为多远？解：以小河的方向向东为x轴正方向，以路的方向向北为y轴正方向，建立平面直角坐标系，则A(－3,4)，B(2，)，问题转化为在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．可设点P为(x,0)，则有|PA|＝＝，|PB|＝＝.由|PA|＝|PB|得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.即所求点P为且|PA|＝＝.故发电站应建在小路以西公里处的河边，它距两村的距离为公里．
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