3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离•三维目标1.知识与技能(1)会用解方程组的方法求两肓线的交点坐标.(2)会用方程组解的个数判断两点线的位置关系.(3)掌握直角坐标系两点间的距离，会用坐标法证明简单的几何问题.2.过程与方法(1)组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程.(2)通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.3.情感、态度与价值观(1)通过两直线交点和二元一次方程组的联系，认识事物Z间的内在的联系.(2)体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题.•重点难点重点：判断两直线是否相交，交点坐标、两点间距离公式的推导.难点：两直线相交与二元-•次方程的关系、应用两点间距离公式证明儿何问题.•教学流程【问题导思】观察下列各纟R肓线.(1)x+y=(),x+y+\=O；(2)2.r+3y+1=0,3x+j/+2=0.这两组直线的位置关系怎样？若平行，说明理由；若相交，求出交点坐标.【提示】第(1)组直线平行，因为两直线的斜率相等且在尹轴上的截距不相等•第(2)组直线相交，其交点坐标为(-号，|).两条直线的交点己知两直线厶：/|x+5y+C|=0；/2：A2x+B2y+C2=0.若两岂线方程组成的方程组M]x+3iy+Ci=0B”+CS=Ox=x(),有惟-•解“则两百-线相交,交点朋标为(直「畑.【问题导思】1.在兀轴上两点4(X],0),3(兀2,0)间的距离如何计算？【提示】0/11=比2一X]|.2.在y轴上两点C(0,口),00,力)间的距离如何计算?【提示】|CZ)|=仞-加.
1.你能结合问题1、2推导出空间两点尸加力),P2(X2,力)间的距离公式吗?
【提示】\P\P2\=7(X2-兀1)2+(>2"Tip.两点间的距离⑴平而上的两点P.(X1，刃)，巴(乃，力)间的距离公式尸尸21=讥丫2—切呻他一必尺⑵两点间距离的特殊情况①原点0(0,0)与任一点P(x,刃的距离|OP|=G+y2②当P\P2〃X轴01=力)时，|Pf2l=g二al.③当P\P2//y轴(XI=疋)吋，尸屮2|=1E2—二彳杲它〃.动探究或找朮师主互动損.ng贋?两条直线的交点问题►15'J判断下列各组直线的位直关系.如果相交，求出交点的处标:(1)/1：5兀+纱一2=0,Z2：2x+y+2=0；(2)11：2x~6y+3=0f/2：y=*x+*；1()T,所以/]与相交，且交(3)/]:2x~6y=0,l2：，=*+*•解方程组1丽二解相交有无数组解重合无解平行【思路探究】[自主解答】⑴解方程组％+纱-2-0,[2x+y+2=0,点坐标为(-¥，¥).公_6尹+3=()，(2)解方程组$②X6整理得2r-6y+3=0・因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，/|与％重合•2x-6y=0,(3)解方程组$②②X6-①得3=0,矛盾.方程组无解，所以两直线无公共点、，/|//2.判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况.►ggflll（S（2012-曲靖高一检测）两直线2x+3y~k=0和兀一幼+12=0的交点在y轴上，那么k
的值为（）A.-24B.6C.±6D.24【解析】在2x+3p-«=0中，令兀=0得尹=彳，将（0,彳）代入x-炒+12=0,解得k=±6.【答案】C»例図己知三顶点处标力（一3,1）、B（3,一3）、C（l,7）,试判断AMC的形状.【思路探究】可先在直角坐标系中画出△M3C,估计其形状，然后以边长和角为着眼点，分析印证估计的正确性.【自主解答】法一•••\AB\=7(3+3)2+(-3-1)—辰，MC|=7(l+3)2+(7—1尸=又0C|=p(l_3)2+(7+3)2=VI丽,••脑+力广=込且M=/C,•••^ABC是等腰直角三角形.7-1_31-(-3)=2j_-3-1__2尬=3_(_3厂则"也=-1，:ACLAB.又\AC\=p(l+3尸+(7-1)—0,\AB\=寸(3+3尸+(-3-I)?=^52,—AB,"BC是等腰直角三角形.
1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.2.在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理.•娈貳训练已知点力(4,12),在x轴上的点P与点A的距离等于13,求点P的坐标.【解】设点P的坐标为(x,0),由|刃|=13,得心47+(12_())2=13,解得x=-1或x=9.所以点P的坐标为(-1,0)或(9,0).■运用解析法解决平面几何问题在厶ABC中，/D是边上的中线.求证：\AB^+\AC^=2(h4Z)|2+|Z)C|2).【思路探究】建立适当的坐标系“形”化至厂数”坐标表示力、B、C、D各点代数计算“数”化到「形”几何关系【自主解答】设BC所在边为兀轴，以D为原点，建立坐标系，如图所示，设力@,c),C(a,0),则B(-af0).v|J^|2=(^+/7)2+c2,HQ2=(a-b)2+c2,HZ)|2=/)2+QCp",.••的2+|冷=2(/+圧+疋)，iW+QCl—y+x+c?,+\AC\2=2(b4Z)|2+|Z)C|2).I规律方法I利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上;(2)用坐标表不有关的量；
(1)将几何关系转化为坐标运算；(2)把代数运算结果“翻译”成几何关系."娈貳训圾已知：等腰梯形ABCD中，4B〃DC,对角线为MC和3D求证：\AC\=\BD\.【证明】如图所示，建立直角坐标系，设力(0,0),B(a,O),C(b,c),则点Q的坐标是(a_b、c).•••\AC\=p(b_OF+(c_OF=y]h2+c2,\BD\=yj(a-b-a)2+(c-0)2=yjb2+c2.故\AC\\BD\.理思路硏題恪法有“技巧”技能提升IXI对称问题的求解策略卜典例(12分)(2013•临沂高一检测)光线通过点禺2,3)在直线/：兀+夕+1=0上反射，反射光线经过点3(1,1),试求入射光线和反射光线所在肯线的方程.【思路点拨】求点/关于直线/的对称点才一求反射光线所在直线的方程一求入射光线与反射光线的交点坐标一求入射光线所在的直线方程.【规范解答】设点力(2,3)关于直线/的对称点为才(xo,为),厂2+xo3+yQ2+2+1=(),则血一2解之，得才(-4,-3).4分由于反射光线经过点0(-4,-3)和所以反射光线所在直线的方程为1+3厂1%-1)帀，即4x-5y+1=0.4x-5y+1=0,21解方程组|得反射点P(-示-T)x+y+l=O,33
所以入射光线所在直线的方程为13+3厂3==（X-2）-2+|即5x-4尹+2=0」2分思维启迪1.光线的入射、反射问题、角的平分线问题以及在某定总线取点，使它与两定点距离Z和最小问题均属于点关于直线对称问题•解决这类问题的方法是设对称点坐标，由“垂直”和“平分”列方程解得.2.点A（x0,沟）关于直线/：Ax+By+C=0的对称点M（x,夕）可由方程组4x+x（）2+冲+c=o求得.方程纽A\X-\~B\y+C\=^A2x+B2y+C2=0有唯一解的等价条件是A{B2-A2B^0.亦即两条直线相交的等价条件是/[民一力28|工0.一口.线力仏+B\y~\~C\~\~B^v+C2）=0（久UR）是过且线厶:A|X
+3y+C]=0与/2：A2x+B2y+C2=o交点的直线（不含/2）.
1.解析法乂称为坐标法，它就是通过建立直角朋标系,用坐标代替点、用方程代替Illi线、用代数的方法研究平而图形的儿何性质的方法.2.两点P[(X1，71),卩2(兀2，尹2)间的距离公式\P\P1\=yjCvi—X2)2+0*1~y2)2与两点的先后顺序无关，其反映了把儿何问题代数化的思想.隧堂练主主互动达“取标”交潦学习区I1.直线x+2y-2=o与直线2x+y-3=o的交点处标是()A.(4,1)B.(1,4)小4114C.(亍J)D.(j,亍)(4k+2厂2=0,x=y【解析】由方程组Vc…得V即[2x+v-3=0,19rlr・4I直线x+2尹一2=()与直线2x+尹一3=0白勺交点坐标是(§,亍).【答案】C2.已知M(2,l),N(T,5),则MM等于()A.5B.V37C・VHD.4【解析】\MN\=p(2+l)2+(l-5)2=5.【答案】A3.下列肓线屮，与肓线x+3y—4=()相交的肓线为()A.x+3y=1B.y=—^x~12【解析】若直线与直线x+3y-4=0相交，则两条直线的斜率不相等，故选C.【答案】C4.已知在Rt/^ABC中,ZB为直角,\AB\=a,\BC\=b.建立适当的坐标系，写出顶点兄,B,C的处标，并求证斜边/C的中点M到三个顶点的距离相等.
【解】取边恥所在的直线为X轴，边BC所在的直线为y轴，建立直角坐标系，如图，则三个顶点的坐标分别为/(Q,0),3(0,0),C(0,b).由中点坐标公式得，斜边/C的中点M的坐标为(号，£),\MC\-寸(()-护+3-界拙+方2故|闷=\MB\=\MC\.即斜边4C的中点M到三个顶点的距离相等.1?方知能检测课下测自我評估规“考处演练擬升区♦一、选择题1•直线x~2y+1=0与2x+y~l=Q的位置关系是()A.平行B.相交fl垂直C.相交但不垂宜D.重合I-21【解析】..NH-且㊁X(-2)=-1,•••两直线相交且垂直.【答案】B2.已知点力(一2,-1),B(a,3),且\AB\=5,则a的值为()A.1B.-5C.1或一5D・一1或5【解析】由M〃|=P(q+2)2+(3+1)—5,可知(a+2)2=9..••a=1或-5.【答案】C3.(2013•周口高一检测)肓线kx-y+l=3kr当Z:变动时，所有直线都通过定点()A.(0,0)B.(0,1)C.(3,1)D.(2,1)x-3=0,x=3,【解析】直线kx~y+1=3k可变形为k(x-3)-尹+1=().由,得当U-厂o.i・£变动时，直线恒过点(3,1).【答案】C4.以力(5,5),3(1,4),C(4,l)
为顶点的三角形是()
A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】•••期=知,\AC\=y/V7,m=3-\/2,•••三角形为等腰三角形.故选B.【答案】B2.(2013-聊城高一检测)直线x+炒=0,2x+3y+8=()和兀一尹一1=0交于一点，则力的值是()A，2B.—2C.2D.—22x+3y+8=()_【解析】由方程组|得直线2%+3，+8=0与*-卩-1=0的交点坐标为x~y~1=0(-1,-2),代入直线x+ky=()得k=-*.【答案】B二、填空题3.直线被朋标轴截得的线段长为.【解析】令x=0,得y=2；令y=0,得x=-2,•••点(0,2)和点(-2,0)间的距离为冷2,+(-2)2=2也.【答案】2、伫4.已知N4BC的顶点坐标为力(7,8),B(10,4),C(2,一4),则BC边上的中线的长为•【解析】线段BC的中点坐标为M(6,0),又^(7,8),.•・\AM\=寸(6-7)2+(0-8)2=^65.【答案】屈8•直线5x+4y=2a+\与直线2x+3)，=g的交点位于第四彖限，则a的取值范围为【解析】5x+4尹=2a+1,由「2x+3y=a,x=得＜J;=2a+37a-27'x>0,交点在第四象限，••仁,解得-•|vqv2.3【答案】(一号，2)三.解答题
9.(2013-浏阳高一检测)求过两条直线2x—y—3=0和4x—3y—5=0的交点，并ft与直线2x+3y+5=0垂直的直线方程.【解】2x-y-3=0，由・[4x_3厂5=0,x=2>解得则两直线交点为(2」)・b=1，13直线2x+3v+5=0的斜率为-亍则所求直线的斜率为㊁故所求直线的方程为y-1=^(x-2),即3x_2厂4=0.10.过点M(0,l)作直线，使它被两已知直线/】：x-3y+l0=0和冷2x+y—8=0所截得的线段恰好被M所平分，求此肓线的方程.【解】法一过点M与x轴垂直的直线显然不合要求，故设所求直线方程为y=kx+1,若与两已知直线分别交于力、B两点、,♦y=he+1,则解方程组〔兀-3尹+10=0y=kx+I,和2x+y-8=0,可得"莎亍甘丙77由题意莎亍门亍°'•°.k=-+.故所求直线方程为x+4y-4=0.法二设所求直线与两已知直线分别交于/、B两点，点、B在直线2x+y-8=0上，故可设BQ8-2/),由中点坐标公式得力(-tf2t-6).又因为点/在直线x-3y+10=0上，所以(—/)-3(2『-6)+10=0,得"4,即5(4,0).由两点式可得所求直线方程为x+4尹-4=().11.(思维拓展题)在x轴上求一点P,使得(1)P到力(4,1)和〃(0,4)的距离之差最大，并求岀最大值；(2)P到力(4,1)和C(3,4)的距离之和最小，并求岀最小值.【解】如图，
(1)直线3/与X轴交于点P,此时P为所求点，且尸3|-|刊|=\AB\=V(0-4)2+(4-I)2=5.1—43•••直线BA的斜率kBA=-二，•••直线册的方程为y=-弓x+4.令y=()得兀二学，即^(乎，0).故距离之差最大值为5,此时P点的坐标为(学，0).(2)作/关于x轴的对称点才，则才(4,-1),连接C4',则|C/‘|为所求最小值,直线CM'与x轴交点为所求点.又IC4，|=寸(4_3)2+(_1_4)2=代,一1一4直线C4'的斜率屁才=—3=一5,则直线C/‘的方程为y-4=-5(x-3).19io令7=0得丁，即Pfy,0).故距离之和最小值为此时p点的坐标为(丁，0).敖呻备课资源鸟拓展因材施敎闊“视好找区I•备选倒题求证：不论加为何实数，直线伽一l)x+(2加一1”=〃?一5恒过一个定点.【思路探究】既然加不论取何值，直线恒过定点，可以任取〃7的两个不同值，得到两条直线都过定点，再利用两直线交点求出定点，最后证明直线恒过该点.【自主解答】法一取m=l,得直线丿=-4.取加=*,得直线x=9.故两直线的交点为(9,-4),下面验证直线伽-1)兀+(2加-1)尹=加-5恒过点(9,-4).将x=9,y=一4彳弋入方程，左边=(m一1)-9-4-(2/w一1)=加一5=右边,故直线恒过点(9,-4).法二直线方程可变形为(x+2y-1_(x+y_5)=0.
•••对任意〃7该方程恒成立，
x+2y_l=0,&+厂5=0,x=9，解得3=_4.故直线恒过定点(9,-4).I规律方法I法一分“探求”和“验证”两部分，先使用特殊值找出问题的结论，进而给出证明,这是解决与参数无关的问题常用的一种方法；法二是利用过两直线交点的直线系方程求解.A备迭娈？L不论q为何实数，直线(。一3)兀+2矽+6=0恒过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】直线(a-3)x+2©+6=0可变形为a(x+2y)+(6-3x)=0,[x+2v=0,(x=2,由.，得〔6-3x=0,[y=-1.故直线(a-3)x+lay+6=0恒过定点(2,-1),又点(2,-1)在第四象限，故该直线恒过第四象限，选D.【答案】D
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