《2.1.4　两条直线的交点》同步练习1

《2.1.4 两条直线的交点》同步练习知识点一 直线的交点1．直线3x＋5y－1＝0与直线4x＋3y－5＝0的交点是__________．解析：联立两直线方程解得交点坐标为(2，－1)．答案：(2，－1)2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则k的值为__________．解析：易求直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点为(－1，－2)，代入x＋ky＝0得k＝－.答案：－3．已知直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，求直线l倾斜角的取值范围．解析：由⇒于是有∴k>，故直线l的倾斜角的取值范围是(30°，90°)．知识点二 直线公共点的判定与求解4．当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一个定点，这个定点是__________．解析：将直线方程化为a(x＋2)＋(－x－y＋1)＝0， 当即时等式成立，即直线过定点(－2，3)．答案：(－2，3)5．若直线x＋my＋1＝0和直线(m－2)x＋3y＋m＝0相交，则m的取值范围是__________．解析：两条直线相交，即两直线不重合也不平行，∴m(m－2)－1×3≠0，∴m2－2m－3≠0，∴m≠－1且m≠3.答案：(－∞，－1)∪(－1，3)∪(3，＋∞)6．已知直线x＋a2y＋6＝0和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，求a的值．解析：由3a－a2(a－2)＝0得：a(a＋1)(a－3)＝0.∴a＝0或a＝－1或a＝3，其中当a＝3时，两直线重合，当a＝0或－1时，两直线平行，没有公共点．故a＝0或－1.知识点三 利用交点求字母参数的范围7．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是__________．解析：两直线联立，求出交点坐标为，，又交点在第一象限，得＞0且＞0，解得－＜k＜.答案：8．当实数m为何值时，三条直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0不能围成三角形．解析：当三条直线交于一点或其中有两条直线互相平行时，它们不能围成三角形．由解得将x＝1，y＝－1代入l1的方程中，得m＝2. 即m＝2时，三条直线共点；由－6－3m＝0，即m＝－2时，l1∥l2；由3－6m＝0，即m＝时，l1∥l3.∴当m＝±2或m＝时，l1、l2、l3不能围成三角形．综合点一 求过直线交点的直线方程9．求过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且过点(4，0)的直线方程为__________．解析：设所求直线方程为2x－y＋4＋λ(x－y＋5)＝0(λ∈R)，则2×4－0＋4＋λ(4－0＋5)＝0，即λ＝－.∴所求直线方程为2x－y＋4－(x－y＋5)＝0，即2x＋y－8＝0.答案：2x＋y－8＝010．求经过两直线7x＋7y－24＝0和x－y＝0的交点，并且与直线7x－14y－3＝0平行的直线方程．解析：方法一 由方程组解得两直线的交点为A.设与直线7x－14y－3＝0平行的直线方程为7x－14y＋C＝0，将点A的坐标代入，求得C＝12，故所求的直线方程为7x－14y＋12＝0.方法二 设过已知两直线交点的直线系方程为7x＋7y－24＋λ(x－y)＝0，即(7＋λ)x＋(7－λ)y－24＝0.又所求直线与直线7x－14y－3＝0平行，∴＝≠，解得λ＝－21.故所求的直线方程为7x－14y＋12＝0. 综合点二 对称的应用11．直线x－2y＋1＝0关于直线y＝x对称的直线方程是__________．解析：设M(x，y)为所求直线上的任意一点，则M(x，y)关于直线y＝x的对称点M′(y，x)在已知直线x－2y＋1＝0上，故y－2x＋1＝0.即：2x－y－1＝0.答案：2x－y－1＝012．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：(1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；(2)P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小．解析：(1)如右下图所示，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，则kBB′·kl＝－1，即3·＝－1，∴a＋3b－12＝0.①又由于BB′的中点坐标为，且在直线l上，∴3×－－1＝0，即3a－b－6＝0.  ②解①②得a＝3，b＝3.∴B′(3，3)．于是直线AB′的方程为：＝，即2x＋y－9＝0. ∵|PA－PB|＝|PA－PB′|≤AB′，∴当且仅当A，B′，P三点共线时|PA－PB|最大．由l与AB′的方程组解得x＝2，y＝5，即l与AB′的交点坐标为(2，5)，所以P点坐标为(2，5)．(2)如右图所示，设C关于l的对称点为C′，求出C′的坐标为.∴AC′所在直线的方程为：19x＋17y－93＝0，∵PA＋PC＝PA＋PC′≥AC′，∴当且仅当P，A，C′三点共线时，PA＋PC最小．∵AC′和l交点坐标为，故P点坐标为.