3.3《直线的交点坐标与距离公式》导学案【学习目标】1.直线和直线的交点，二元一次方程组的解；2．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。3.理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式，会用点到直线距离公式求解两平行线距离。【导入新课】用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？新授课阶段1.两直线的交点坐标的求法如果两条直线相交，联立方程组求，交点坐标与二元一次方程组的是一一对应的。1.若二元一次方程组有唯一解，与相交。2.若二元一次方程组无解，则与平行。3.若二元一次方程组有无数解，则与重合。例1求下列两直线交点坐标：：3x+4y-2=0；：2x+y+2=0。解：
例2已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证交点不可能在第一象限及轴上.分析：解：2.两点间距离公式的推导平面直角坐标系中两点的距离。过分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为，直线相交于点Q。在直角中，，为了计算其长度，过点向x轴作垂线，垂足为过点向y轴作垂线，垂足为，于是有所以，=。由此得到两点间的距离公式例3以知点A（-1，2），B（2，），在x轴上求一点，使,并求的值。解：
例4证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。分析：证明：3.点到直线距离公式在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为，直线＝0或B＝0时，以上公式，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢?设点P到直线的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥可知，直线PQ的斜率为（A≠0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线的距离为d此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨另一种方法方案二：设A≠0，B≠0，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点；作轴的平行线，交于点，由得.
所以，｜PＲ｜＝｜｜＝｜PS｜＝｜｜＝｜ＲS｜＝×｜｜由三角形面积公式可知：·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜所以可证明，当A=0时仍适用得到：点到直线的距离为：例5求点P=（-1，2）到直线3x=2的距离。解：例6已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的面积。解：
4.平行线间的距离公式已知两条平行线直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为证明：例7求两平行线：，：间的距离。解：课堂小结1.直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用。2.两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。3.点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式。作业见同步练习部分拓展提升1．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（）A.4B.C.D.
2、过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（）A．B．C.D．3.已知直线l1的方程是ax-y+b＝0,l2的方程是bx-y-a＝0(ab≠0,a≠b)，则下列各示意图形中，正确的是()4．直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位，所得到的直线为()A. B. C. D.5．若动点分别在直线：和：上移动，则中点到原点距离的最小值为（）A．B．C．D．6．点A（1，3），B（5，－2），点P在x轴上使|AP|－|BP|最大，则P的坐标为（）A.(4,0)B.(13,0)C.(5,0)D.(1,0)7.过点作直线分别交轴的正半轴和y轴的正半轴于点、，当（为原点）的面积最小时，求直线的方程，并求出的最小值。8.光线从发出射到直线：x+y=4上的E点，经反射到y轴上F点，再经y轴反射又回到Q点，求直线EF的方程。
9.在平面直角坐标系中，已知矩形的长为２，宽为１，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合（如图所示）。将矩形折叠，使点落在线段上。（1）若折痕所在直线的斜率为，试求折痕所在直线的方程；（2）当时，求折痕长的最大值；（3）当时，折痕为线段，设，试求的最大值。10.过点(2,3)的直线被两平行直线所截得线段AB的中点恰好在直线上,求直线的方程.参考答案新授课阶段1.两直线的交点坐标的求法交点坐标解
例1解：联立方程组解得x=-2，y=2所以与的交点坐标为M（-2，2），如下图所示：例2分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围.解：解方程组若，则＞1.当＞1时，－，此时交点在第二象限内.又因为为任意实数时，都有1＞0，故≠0因为≠1（否则两直线平行，无交点），所以，交点不可能在轴上，得交点(－)2.两点间距离公式的推导例3解：设所求点P（x，0），于是有由得解得x=1。
所以，所求点P（1，0）且。解法二：由已知得，线段AB的中点为，直线AB的斜率为k=线段AB的垂直平分线的方程是y-在上述式子中，令y=0，解得x=1。所以所求点P的坐标为（1，0）。因此例4分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。证明：以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为所以，所以，因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。上述解决问题的基本步骤可以归纳如下：第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。第二步：进行有关代数运算。第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。
3.点到直线距离公式在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为，直线＝0或B＝0时，以上公式，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢?设点P到直线的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥可知，直线PQ的斜率为（A≠0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线的距离为d此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法方案二：设A≠0，B≠0，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点；作轴的平行线，交于点，由得.所以，｜PＲ｜＝｜｜＝｜PS｜＝｜｜＝｜ＲS｜＝×｜｜由三角形面积公式可知：·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜所以可证明，当A=0时仍适用得到：点到直线的距离为：例5
解：d=例6解：设AB边上的高为h，则S=，AB边上的高h就是点C到AB的距离。AB边所在直线方程为即x+y-4=0。点C到X+Y-4=0的距离为hh=，因此，S=4.平行线间的距离公式推导过程：证明：设是直线上任一点，则点P0到直线的距离为又即，∴d＝的距离.例7解：因为∥又.
由两平行线间的距离公式得拓展提升1.D2.A3.D4.A5.A6.B7．设a(a,0),B(0,b),(a,b>0),则直线的方程为：，上，，又，等号当且仅当时成立，∴直线的方程为：x+4y－8=0,Smin=88．解：设Q关于y轴的对称点为，则的坐标为设Q关于的对称点为，则中点为G，G在l上，①又②由①②得由物理学知识可知，、在直线EF上，直线EF方程为:，即9、解：(1)①当时,此时点与点重合,折痕所在的直线方程②当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，所以与关于折痕所在的直线对称，有故点坐标为，从而折痕所在的直线与的交点坐标（线段的中点）为折痕所在的直线方程，即由①②得折痕所在的直线方程为：
（2）当时，折痕的长为2;当时，折痕直线交于点，交轴于∵∴折痕长度的最大值为。而,故折痕长度的最大值为（3）当时，折痕直线交于，交轴于∵∴∵∴（当且仅当时取“=”号）∴当时，取最大值，的最大值是。10解:与两平行直线等距离的直线方程为解得交点则所求直线的方程为即
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