新人教A版必修2 高中数学 3.3.1 两直线的交点坐标 导学案

第5课时 两条直线的交点坐标1.了解二元一次方程组的解与两条直线的交点坐标之间的关系,体会数形结合思想,并能通过解方程组求交点坐标.2.通过一般形式的直线方程解的讨论,加深对解析法的理解,培养转化能力.已知四条直线相交于A、B、C、D四点构成四边形,对于四边形ABCD是否为平行四边形,我们除了用斜率来判定两对边平行的办法外,还可以通过一条对边平行且相等来判别,那么如何求此四边形各边的边长呢?问题1:要求四边形的边长,先得求交点.两条直线的交点坐标的求法:将两直线方程联立组成方程组,此方程组的 解 就是这两条直线的交点坐标,因此,求两条直线的交点只需解方程组即可. 问题2:已知l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将方程联立,得对于这个方程组解的情况可分三种情况讨论:(1)若方程组有 唯一 解,则l1、l2相交,有唯一的公共点; (2)若方程组 无 解,则l1、l2没有公共点,即平行; (3)若方程组有 无穷 多个解,则l1、l2有无数多个公共点,即重合. 问题3:怎么表示经过两条直线交点的所有直线?过两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程是 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R) ,但此方程中不含 l2 ;若变为一般形式m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m2+n2≠0),则表示过l1与l2 交点 的所有直线方程. 问题4:用坐标法解决几何问题的基本步骤是什么?①建立 平面直角坐标系 ,用坐标表示有关的量—— 几何问题代数化 ; ②对点的坐标进行有关的 代数运算 ; ③对代数运算结果进行 几何解释 ——研究几何图形性质. 1.点M(1,2)与直线l:2x-4y+3=0的位置关系是(  ).A.M∈l  B.M∉lC.重合D.不确定2.在下列直线中,与直线x+3y-4=0相交的直线为(  ). A.x+3y=0B.y=-x-12C.+=1D.y=-x+43.已知直线l1:3x+4y-5=0与l2:3x+5y-6=0相交,则它们的交点是    . 4.求直线l1:3x-y+12=0和l2:3x+2y-6=0及y轴所围成的三角形的面积.两条直线的交点及两条直线的位置关系求经过两条直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点,且和直线2x-y+6=0平行的直线l的方程.对称问题求点P(-4,2)关于直线l:2x-y+1=0的对称点P'的坐标.与交点有关的问题求经过两直线7x+8y-38=0和3x-2y=0的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.一束平行光线从原点O(0,0)出发,经过直线l:8x+6y=25反射后通过点P(-4,3),求反射光线所在直线的方程.当k为何值时,直线y=x+3k-2与直线y=-x+1的交点在第一象限.1.若两直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y轴上,则m的值为(  ).A.6     B.-24C.±6D.以上都不对2.若直线l与两直线y=1和x-y-7=0分别交于M、N两点,且MN的中点是P(1,-1),则直线l的斜率等于(  ). A.-B.C.-D.3.过原点且经过两条直线l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0的交点的直线方程为    . 4.分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点.(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.平面直角坐标系中直线y=2x+1关于点(1,1)对称的直线方程是(  ).A.y=2x-1B.y=-2x+1C.y=-2x+3D.y=2x-3  考题变式(我来改编):第5课时 两条直线的交点坐标知识体系梳理问题1:解问题2:(1)唯一 (2)无 (3)无穷问题3:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R) l2 交点问题4:①平面直角坐标系 几何问题代数化 ②代数运算 ③几何解释基础学习交流1.B 将点M的坐标代入直线方程,即1×2-4×2+3≠0,所以点M不在直线l上.故选B. 2.C +=1可化为3x+2y-6=0.故选C.3.(,1) 由得x=,y=1.故直线l1与l2的交点是(,1).4.解:三角形的三个顶点坐标分别为A(-2,6)、B(0,12)、C(0,3),S△ABC=×9×2=9.重点难点探究探究一:【解析】(法一)∵直线2x-y+6=0的斜率为2,且直线l与直线2x-y+6=0平行,∴直线l的斜率为kl=2.由得∴直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点坐标为M(0,2).∴直线l的方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.(法二)设与直线2x-y+6=0平行的直线l的方程为2x-y+C=0(C≠6).解方程组得∴直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点坐标为M(0,2).∵直线l经过两条直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点M(0,2),∴2×0-2+C=0,即C=2.∴直线l的方程为2x-y+2=0.【小结】法一是求直线方程的通法,需掌握.法二中利用了平行直线系的设法:与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程可设为Ax+By+λ=0(λ≠C).  探究二:【解析】(法一)设点P'(x,y),由PP'⊥l及PP'的中点在l上,得即解得∴P'(,-).(法二)设点P'(x,y),∵PP'的方程为y-2=-(x+4),即x+2y=0, ∴解方程组得PP'与l的交点M(-,),由中点坐标公式得得故P'(,-).【小结】(1)上述两种方法的基本思想一样,都是用直线l是线段PP'的垂直平分线这一思想,但具体用的视角不同,因而解法不同,比较两种解法,第一种较简便.(2)点关于点的对称问题是最基本的对称问题,用中点坐标公式求解,它是解答其他对称问题的基础.点M(a,b)关于点(x0,y0)的对称点为M'(2x0-a,2y0-b);点M(a,b)关于原点O的对称点是M'(-a,-b).  探究三:【解析】(法一)由得交点为(2,3).因为所求直线在两坐标轴上截距相等,所以可设+=1.又此直线经过交点(2,3),所以+=1,即a=5,故所求直线方程为x+y-5=0.(法二)设所求直线方程为7x+8y-38+λ(3x-2y)=0(λ为常数),则(7+3λ)x+(8-2λ)y-38=0,令x=0,得y=;令y=0,x=.依题意,解得λ=.所以直线方程为x+y-5=0.[问题]截距能不能为0?直线系方程为7x+8y-38+λ(3x-2y)=0(λ为常数)包括3x-2y=0吗?[结论](法一)中直线的截距式方程+=1,只适用于截距不为0的情形.因而上述解法忽略了截距为0的情形,解法不完整.(法二)中7x+8y-38+λ(3x-2y)=0表示过直线7x+8y-38=0与直线3x-2y=0的交点(除3x-2y=0以外)的所有直线,因此,要检验直线3x-2y=0是否适合.于是,正确解答如下:(法一)当直线过原点时,设方程为y=kx.因为直线过点(2,3),所以3=2k,k=. 此时方程为3x-2y=0.当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时,解法同错解法一,故所求方程为x+y-5=0.综上,所求方程为3x-2y=0或x+y-5=0.(法二)(1)显然直线3x-2y=0符合题意.(2)设所求直线方程为7x+8y-38+λ(3x-2y)=0,解法同错解法二,求得方程为x+y-5=0,故所求方程为3x-2y=0或x+y-5=0.【小结】考查熟练求解直线方程的方法,注意应用直线系简洁快速地解决问题.思维拓展应用应用一:(法一)由方程组得∵直线l与直线3x+y-1=0平行,∴直线l的斜率k=-3,∴由点斜式有y-(-)=-3[x-(-)],即所求直线方程为15x+5y+16=0.(法二)∵直线l过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点,∴设直线l的方程为2x-3y-3+λ(x+y+2)=0,即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0.∵直线l与直线3x+y-1=0平行,∴=≠.解得λ=.从而所求直线方程为15x+5y+16=0.  应用二:如图所示,设原点关于直线l的对称点A的坐标为(a,b),由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得解得∴点A的坐标为(4,3).∵反射光线的反向延长线过A(4,3),又由反射光线过P(-4,3),∴两点纵坐标相等,故反射光线所在直线的方程为y=3.   应用三:(法一)解方程组得所以直线y=x+3k-2与直线y=-x+1的交点坐标为(,).要使交点在第一象限,则解得-