高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.3.1两直线的交点坐标 练习含答案

金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com2010届步步高一轮复习高三数学第九编解析几何直线的方程、两直线的交点坐标与距离公式基础自测1.下列四个命题中真命题是（）A.经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y-y0=k（x-x0）表示B.经过任意两个不同点P1（x1,y1）,P2(x2,y2)的直线都可以用方程（y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示C.不经过原点的直线都可以用方程表示D.经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示答案B2.A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程为（）A.2x-y-1=0B.x+y-5=0C.2x+y-7=0D.2y-x-4=0答案B3.（2008·全国Ⅱ文，3）原点到直线x+2y-5=0的距离为（）A.1B.C.2D.答案D4.过点P（-1，2）且方向向量为a=（-1，2）的直线方程为()A.2x+y=0B.x-2y+5=0C.x-2y=0D.x+2y-5=0答案A5.一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为.答案x+2y-2=0或2x+y+2=0例1求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A（-1，-3），倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.解（1）方法一设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a=0，即l过点（0，0）和（3，2），∴l的方程为y=x，即2x-3y=0.若a≠0，则设l的方程为，第10页共10页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com∵l过点（3，2），∴，∴a=5，∴l的方程为x+y-5=0,综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.方法二由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0,设直线方程为y-2=k(x-3),令y=0，得x=3-,令x=0,得y=2-3k,由已知3-=2-3k，解得k=-1或k=,∴直线l的方程为：y-2=-（x-3）或y-2=(x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0.（2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2.∵tan=3,∴tan2==-.又直线经过点A（-1，-3），因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.例2过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：（1）△AOB面积最小时l的方程；（2）|PA|·|PB|最小时l的方程.解方法一设直线的方程为(a＞2,b＞1),由已知可得.（1）∵2≤=1，∴ab≥8.∴S△AOB=ab≥4.当且仅当==,即a=4,b=2时，S△AOB取最小值4，此时直线l的方程为=1,即x+2y-4=0.（2）由+=1,得ab-a-2b=0,变形得(a-2)(b-1)=2,|PA|·|PB|=··=·≥.第10页共10页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com当且仅当a-2=1,b-1=2,即a=3,b=3时，|PA|·|PB|取最小值4.此时直线l的方程为x+y-3=0.方法二设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k＜0),则l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B（0，1-2k）.（1）S△AOB=（1-2k）=×≥（4+4）=4.当且仅当-4k=-,即k=-时取最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.·（2）|PA|·|PB|==≥4,当且仅当=4k2,即k=-1时取得最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.例3（12分）已知直线l过点P（3，1）且被两平行线l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程.解方法一若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3,此时与l1,l2的交点分别是A（3，-4），B（3，-9），截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.4分若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k(x-3)+1,分别与直线l1,l2的方程联立，由,解得A.8分由,解得B,由两点间的距离公式，得+=25，解得k=0,即所求直线方程为y=1.10分综上可知，直线l的方程为x=3或y=1.12分方法二设直线l与l1,l2分别相交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+y1+1=0,x2+y2+6=0,第10页共10页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com两式相减，得(x1-x2)+(y1-y2)=5①6分又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25②联立①②可得或,10分由上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90°，故所求的直线方程为x=3或y=1.12分例4求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.解方法一由知直线l1与l的交点坐标为（-2，-1），∴设直线l2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线l上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等，由点到直线的距离公式得=，解得k=(k=2舍去)，∴直线l2的方程为x-2y=0.方法二设所求直线上一点P（x,y）,则在直线l1上必存在一点P1（x0,y0）与点P关于直线l对称.由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点P2在直线l上.∴，变形得,代入直线l1:y=2x+3，得x+1=2×(y-1)+3,整理得x-2y=0.所以所求直线方程为x-2y=0.1.（1）求经过点A（-5，2）且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程；（2）过点A（8，6）引三条直线l1,l2,l3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l2的方程是y=x,求直线l1,l3的方程.解（1）①当直线l在x、y轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y=kx,第10页共10页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com将（-5，2）代入y=kx中，得k=-，此时，直线方程为y=-x,即2x+5y=0.②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为=1，将（-5，2）代入所设方程，解得a=-，此时，直线方程为x+2y+1=0.综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.（2）设直线l2的倾斜角为,则tan=.于是tan==,tan2=,所以所求直线l1的方程为y-6=(x-8),即x-3y+10=0,l3的方程为y-6=(x-8),即24x-7y-150=0.2.直线l经过点P（3，2）且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，△OAB的面积为12，求直线l的方程.解方法一设直线l的方程为（a＞0,b＞0）,∴A(a,0),B(0,b),∴解得∴所求的直线方程为=1,即2x+3y-12=0.方法二设直线l的方程为y-2=k(x-3),令y=0,得直线l在x轴上的截距a=3-,令x=0,得直线l在y轴上的截距b=2-3k.∴(2-3k)=24.解得k=-.第10页共10页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com∴所求直线方程为y-2=-(x-3).即2x+3y-12=0.3.已知三条直线l1：2x-y+a=0（a＞0）,直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离是.(1)求a的值；(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶.若能,求P点坐标;若不能,说明理由.解(1)l2即为2x-y-=0,∴l1与l2的距离d=,∴=,∴=,∵a＞0,∴a=3.(2)假设存在这样的P点.设点P(x0,y0),若P点满足条件②,则P点在与l1、l2平行的直线l′：2x-y+C=0上，且=，即C=或C=，∴2x0-y0+=0或2x0-y0+=0；若P点满足条件③，由点到直线的距离公式=×，即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0；由于P点在第一象限，∴3x0+2=0不满足题意.联立方程，解得(舍去).由解得∴假设成立，P即为同时满足三个条件的点.第10页共10页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com4.光线沿直线l1:x-2y+5=0射入，遇直线l:3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.解方法一由得∴反射点M的坐标为（-1,2）.又取直线x-2y+5=0上一点P（-5，0），设P关于直线l的对称点(x0,y0)，由⊥l可知,kPP′=-=.而的中点Q的坐标为,Q点在l上，∴3·-2·+7=0.由得根据直线的两点式方程可得l的方程为29x-2y+33=0.方法二设直线x-2y+5=0上任意一点P（x0,y0）关于直线l的对称点为P′(x,y),则,又的中点Q在l上，∴3×-2×+7=0,由可得P点的坐标为x0=，y0=，代入方程x-2y+5=0中，化简得29x-2y+33=0,即为所求反射光线所在的直线方程.一、选择题1.过点（1，3）作直线l，若经过点（a，0）和（0，b），且a∈N+，b∈N+，则可作出的l的条数为（）A.1B.2C.3D.4答案B第10页共10页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com2.已知直线l1的方向向量为a=(1,3),直线l2的方向向量为b=(-1,k),若直线l2过点（0，5），且l1⊥l2，则直线l2的方程是（）A.x+3y-5=0B.x+3y-15=0C.x-3y+5=0D.x-3y+15=0答案B3.若直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于M，N两点，且MN的中点是P（1，-1），则直线l的斜率是（）A.B.C.-D.答案A4.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（）A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=0答案D5.经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（）A.x+2y-6=0B.2x+y-6=0C.x-2y+7=0D.x-2y-7=0答案B6.点（1，cos）到直线xsin+ycos-1=0的距离是(0°≤≤180°)，那么等于（）A.150°B.30°或150°C.30°D.30°或210°答案B二、填空题7.设l1的倾斜角为，∈，l1绕其上一点P沿逆时针方向旋转角得直线l2，l2的纵截距为-2，l2绕P沿逆时针方向旋转-角得直线l3：x+2y-1=0，则l1的方程为.答案2x-y+8=08.若直线l:y=kx-1与直线x+y-1=0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是.答案(1,+∞)三、解答题9.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：（1）过定点A（-3，4）；（2）斜率为.解（1）设直线l的方程是y=k(x+3)+4,它在x轴，y轴上的截距分别是--3，3k+4，由已知，得（3k+4）（+3）=±6，解得k1=-或k2=-.直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.第10页共10页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com（2）设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y=x+b,它在x轴上的截距是-6b,由已知，得|-6b·b|=6，∴b=±1.∴直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.10.一条光线经过P（2，3）点，射在直线l:x+y+1=0上，反射后穿过Q（1，1）.（1）求光线的入射方程；（2）求这条光线从P到Q的长度.解（1）设点Q′(x′,y′)为Q关于直线l的对称点且QQ′交l于M点，∵kl=-1，∴kQQ′=1.∴QQ′所在直线方程为y-1=1·（x-1）即x-y=0.由解得l与QQ′的交点M的坐标为.又∵M为QQ′的中点，由此得.解之得∴（-2，-2）.设入射线与l交点N，且P，N，Q′共线.则P（2，3），Q′（-2，-2），得入射方程为，即5x-4y+2=0.(2)∵l是的垂直平分线，因而=.∴|PN|+|NQ|=|PN|+===,即这条光线从P到Q的长度是.11.已知正方形的中心为直线2x-y+2=0,x+y+1=0的交点，正方形一边所在的直线方程为x+3y-5=0,求正方形其他三边的方程.解设与直线l:x+3y-5=0平行的边的直线方程为l1:x+3y+c=0.由得正方形的中心坐标P（-1，0），由点P到两直线l,l1的距离相等，则,得c=7或c=-5（舍去）.∴l1：x+3y+7=0.又∵正方形另两边所在直线与l垂直，第10页共10页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com∴设另两边方程为3x-y+a=0,3x-y+b=0.∵正方形中心到四条边的距离相等，∴=，得a=9或-3,∴另两条边所在的直线方程为3x-y+9=0,3x-y-3=0.∴另三边所在的直线方程为3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.12.过点P（3，0）作一直线，使它夹在两直线l1：2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程.解方法一设点A（x，y）在l1上，由题意知，∴点B（6-x，-y），解方程组，得，∴k=.∴所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.方法二设所求的直线方程为y=k(x-3),则,解得,由,解得.∵P(3,0)是线段AB的中点，∴yA+yB=0，即+=0，∴k2-8k=0，解得k=0或k=8.又∵当k=0时，xA=1,xB=-3,此时,∴k=0舍去，∴所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.第10页共10页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com