探讨两直线斜率积差为定值的交点轨迹

两直线斜率积差为定值的交点轨迹探求制作软件：PPT、超级画板设计制作：江西省吉水中学孙春生周湖平 著名数学家波利亚在谈到数学课的目的时，最为强调的两点之一是：教会年轻人思考，有人说：思考是一种寻觅，是荒漠中的探险，繁华中的寻幽，有目的的思考能使思维活动以一定的方法、在一定的范围内进行，能激发创造热情，不断冲击头脑中旧有的认知结构，构建新的认知结构. 我们注意到两条直线的斜率积满足这常数这一问题，在教材上出现前后呼应的两次，这就不是一个偶然现象。那么这类问题有什么重要结论吗？我们还能探究出斜率和差商为常数的轨迹问题吗？本课中我们能过课本习题利用超级画板一起来做探究性学习。 问题1分析：根据动点坐标的求法，设出动点坐标，代入到相应条件中化简可得曲线的轨迹方程评注：要注意动点轨迹的纯粹性与完备性 由问题1与问题2，我们分别得出的曲线是椭圆与双曲线，那么进一步我们就很容易地想，斜率满足什么条件，会使得交点的轨迹是圆呢?我们一起来探究。 下面我们用几何画板来探讨轨迹方程在K取不同值时，相应的轨迹是什么。 例1斜率之积为常数K.zjz点击链接动画： 我们不妨把上述一般结论添加上这两个定点后的轨迹称为圆，椭圆，双曲线（有心二次曲线）的统一定义。通过以上的探讨，我们可以引导学生得到如下的一些重要结论。 我们在得出以上一些结论后，自然就会想到再作进一步探究：当椭圆左右顶点分别为A，B时，椭圆上的点与A，B两点的连线之积又是一个什么的值呢？ 例2椭圆上动点与两端点连线斜率积.zjz点击链接动画： 通过案例1和案例2题目的比较，学生感叹数学是多么的奇妙和严谨啊！仅一符号之差，就产生了不同的曲线，回顾解题过程，我们通过直线AM，BM的斜率乘积的运算得到了双曲线和椭圆，那么直线AM，BM的斜率加，减，除运算能得到什么呢？于是再作探究： 例3斜率之和为常数.zjz点击链接动画： 通过探究，能让我们发现问题并把握解决问题的能力，从而在学习过程中，更重视教材后的习题的功能，挖掘其内涵，不仅是教材编著者的匠心独远，而且也是考试命题专家对我们学习教材能力重点关注对象。思考多了，就会乐学，善学，学会思考才能进步，赞可夫有一句名言：“都会学生思考，对学生来说，是一生中最有价值的本钱”。 作业：练习册相应练习；《全品练习》第80页第9题，第11题 再见！