3.3.2两点间的距离疱丁巧解牛知识•巧学一、两点间距离1.已知平面上两点Pi(xi,yj、I)2(X2,y2),那么这两点间的距离为丨P1P2I=7(^2-^1)2+(>，2->1)2•从公式看出，这两点间的距离与这两点的先后顺序无关，即也可写成IP1P2I二J（X]—兀2）2+O1—九），•2.特别地，原点0(0,0)与任一点P(x,y)的距离I0PI二J"+b.当P1P2平行于x轴吋，IPiP2I=Ix2-X]I；当P1P2平行于y轴时，IP1P2I=Iyz-yiI•方法点拨(1)平面内两点间的距离公式是建立在数轴上两点间的距离公式的基础上，将既不平行也不垂直于坐标轴的线段分解成垂直于坐标轴的线段，通过端点坐标利用直角三角形的勾股定理推出的.(2)推导过程中体现了“化斜为直”“化一•般为特殊”的数学思想.(3)两点间的距离公式是解析几何最重要最基本的公式，以后许多知识都是以它为基础，要熟练记忆.二、坐标法1.在坐标系的基础上，利用代数方法来解决平面儿何问题的方法称为坐标法，或叫解析法.直角坐标系是沟通“数”与“形”的桥梁，是建立解析几何理论的基础，坐标法解题则是直角坐标系这种巨大作用的初步体现.2.利用坐标法解决平面几何问题按以下步骤进行：第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量；第二步：根据题屮所给的条件，设出已知点的坐标，然后根据题设条件及儿何性质推出未知点的坐标，进行有关的代数运算；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系.深化升华(1)不能把一般情况定为特殊情况.(2)选择坐标系要使得问题所涉及的坐标屮尽可能多地出现零.为此常有以下约定:①将图形一边所在直线或定直线作为x轴；②对称图形，取对称轴为x轴或y轴.若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴；③可将图形的一个定点或两定点连线的中点作为原点.问题・探究问题1两点间距离公式在数轴上如何进行简化使用？探究：当两点在数轴上时，则点的坐标可表示为P^x.,0),I〉2(X2,0),由两点间距离公式丨P1P2I二J(X]—兀2)2+(》i一旳)2，代入化简可得IPRI=-X2)2+(0-0)2=IX-X2|.并且可进一步的推出，只要两点P】、P2连线平行于x轴，则两点间距离就可简化为丨PRI=|xi-x2|.问题2如果已知三点A(5,-2),B(l,5),c(-l,2)构成一个三角形，你能判断三角形ABC的形状吗？怎么判断？
探究:三角形ABC是以C为顶点的直角三角形.判断方法有多种：
方法一：由两点间距离公式得|AB|=J(l—5尸+(5+2尸=a/65|AC|=J(—1—5尸+(2+2尸=辰,|BC|=J(亠1)2+(2_5尸=品，显然有|AB|2=|AC|2+|BC|2,所以三角形ABC是以C为顶点的直角三角形.2…方法二：可由斜率公式先求得kcA=——,kcB=3,AkcA•kcB=~L所以直线CA±CB.3而由两点I'可距离公式得|AC|=V52,|BC|=Vi3,所以三角形ABC是以C为顶点的直角三角形.典题・热题例1已知AABC中,A(4,5),B点在x轴上,C点在直线1：2x-y+2=0上,求ZXABC的周长的最小值，并求B、C两点的坐标.思路解析：显然直接设点B、C的坐标用距离公式是很麻烦的，且不易找到求最小值的方法(三个根式相加)，可联想利用对称的知识解决•此处过A作关于x轴、直线1的对称点儿、*2,在x轴和直线1上分别取点B、C,则IABI+IBCI+ICAI=IAiB|+IBC|+IA2CI.显然当点A】、B、C、A2四点共线时，上式的值最小，故连结A*2交x轴于点B,交直线1于点C,这就是所求的点且周长的最小值为丨A.A2|.解：如图3-3-1,点、A关于x轴的对称点为A(4,-5).设点A关于直线1的对称点为A2(m,n),n-5则加4c加+472+5rc2・+2=0.22n=7,即A2(0,7).・•・直线AA的方程为y二上空兀+7,即y二-3x+7.0-477令y二o得X二一，即直线AA交X轴于点B(-,0).33y二・3x+7,得[x=1,2x-y4-2=0,[y=4,即直线AH交直线1于点C(l,4),7即点吟0)、C(l,4)为符合条件的点.
此时，IABI+IBCI+ICAI=IAiA2I二J(0・4)2+(7+5尸=4^,即AABC的周长的最小值为4価.深化升华对平面上两点间距离的直接运用，要注意公式的形式，由丨PAI=IPBI列等式解关于x、y的方程.有些问题中，有关于两条线段的和最小或差的绝对值最大问题时，如果直接代入两点间距离公式，由于有两个根式，所以求解非常繁琐，故经常釆用对称问题转化后再由两点间距离求解.例2已知AABC是直角三角形，斜边BC的中点为M,建立适当的直角坐标系，证明AM=-BC.2思路解析：因为AABC是直角三角形，所以选择直角顶点为坐标原点，直角边所在直线为坐标轴•这样建立的直角坐标系，便于设点求解.证明：如图3-3-2,以RtAABC的直角边AB、AC所在直线为坐标轴，建立直角坐标系,设B、C两点的坐标分别为(b,0)、(0,c).7C(O,c)\mA0AB(6,0)x图3-3-2因为点M是BC的中点，故点M的坐标为(9±£),22即22由两点间距离公式得IBCl=J(0・b)2+(c・0)2二^b2+c2,|AM|=J(--0)2+(--0)=-7&2+c2.V222所以AM二丄BC.2深化升华坐标法(也叫解析法)是证明平面几何中线段长度的一种全新方法,用这种方法避免了寻找三角形全等或相似的步骤，只通过代数计算即可实现.这种方法的关键是坐标系的建立，如坐标系选取的不适当，则会计算烦琐，一般在问题屮如有互相垂直的直线，一般把它们建为x轴、y轴，并且使尽可能多的点位于坐标轴上，这样点的坐标方便，如有中点对称的关系，一般建在原点的两侧呈对称分布.例3求函数y=Vx2+l+7x2-4x+8的最小值.思路解析：此函数的定义域为R,如果从代数和角度考虑，确实比较复杂，如果借助于两点间的距离公式，转化为儿何问题，则非常容易，解决问题的关键是：把函数表达式的两部分表示为两点间距离公式的形式进而求解.
解：因为y二+1+yjx"—4x+8=J(x-0)~+(0-l)~+J(x-2)~+(0-2)~.令A(0,1),B(2,2),P(x,0),则y=|PA|+|PB|.即将上述函数的最小值问题，转化为求距离和的最小值问题•借助于光学的知识和对称的知识，作出点A关于x轴的对称点N,贝'JIPAI=IPAZI,所以求丨PA丨+IPBI的最小值问题便可转化为求丨PA'丨+IPBI的最小值问题.由图形可知(丨PA'I+IPB|人产IA'B|二強2+(2+1)2=伍,所以函数y=Vx2+1+厶2一4兀+8的最小值为V13.深化升华有很多的代数问题可以直接求解，但用代数思想和方法来求解时难度较大，而且这些问题可以通过变形转化为儿何问题，借助于儿何上的某些结论或方法就能进行快速的求解，起到事半功倍的作用.
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