高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.2 两点间的距离 学案

3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离目标定位 1.会求两条直线的交点坐标.2.理解两条直线的平行、相交与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系.3.掌握平面上两点间的距离公式并会应用.自主预习1.两条直线的交点已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若两直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交；若方程组无解，则两条直线平行.若方程组有无穷多个解，则两条直线重合.2.过定点的直线系方程已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0交于点P(x0，y0)，则方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过点P的直线系，不包括直线l2.3.两点间的距离平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.4.两点间距离的特殊情况(1)原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.(2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|.(3)当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|.即时自测1.判断题(1)求两直线的交点就是解由两直线方程组成的方程组.(√)(2)两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交的充要条件是A1B2－A2B1≠0.(√)(3)方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，表示经过直线l1：∴A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的所有直线.(×)(4)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关.(√)提示 (3)无论λ取什么实数，都得不到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.2.直线x＝1与直线y＝2的交点坐标是(  )A.(1，2)B.(2，1)C.(1，1)D.(2，2)答案 A3.已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|等于(  ) A.5B.C.D.4解析 |MN|＝＝5.答案 A4.已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是________.解析 l1与l2相交则有：≠，∴a≠2.答案 a≠2 类型一 两直线的交点问题【例1】求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程.解 法一 由方程组解得即l1与l2的交点坐标为(－2，2).∵直线过坐标原点，∴其斜率k＝＝－1.故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.法二 ∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.将原点坐标(0，0)代入上式，得λ＝1，∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.规律方法 (1)方法一是解方程组方法，思路自然，但计算量稍大，法二运用了交点直线系，是待定系数法，计算简单，但要注意判断原点(0，0)不能在直线2x＋y＋2＝0上.否则，会出现λ的取值不确定的情形.(2)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0可表示过l1、l2交点的所有直线；②A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0不能表示直线l2.【训练1】求经过直线l1：x＋3y－3＝0，l2：x－y＋1＝0的交点且平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程.解 法一 由得∴直线l1与l2的交点坐标为(0，1)，再设平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程为2x＋y＋C＝0，把(0，1)代入所求的直线方程，得C＝－1，故所求的直线方程为2x＋y－1＝0.法二 设过直线l1、l2交点的直线方程为x＋3y－3＋λ(x－y＋1)＝0(λ∈R)，即(λ＋1)x＋(3－λ)y＋λ－3＝0，由题意可知，＝－2，解得λ＝，所以所求直线方程为x＋y－＝0，即2x＋y－1＝0. 类型二 两点间距离公式的应用(互动探究)【例2】已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)、B(3，－3)、C(1，7)，试判断△ABC的形状.[思路探究]探究点一 如何判断三角形的形状？提示 判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.探究点二 从哪几个方面分析三角形的形状？提示 在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或满足勾股定理.解 法一 ∵|AB|＝＝2，|AC|＝＝2，又|BC|＝＝2，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形.法二 ∵kAC＝＝，kAB＝＝－，则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝＝2，|AB|＝＝2，∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形.规律方法 1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.2.在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理.【训练2】已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标.解 设点P的坐标为(x，0)，由|PA|＝10，得＝10，解得：x＝11或x＝－5.所以点P的坐标为(－5，0)或(11，0).类型三 坐标法的应用 【例3】证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.证明 如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0).设B(a，0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a＋b，c)，因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2，|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2.所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2).所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.规律方法 坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴.【训练3】已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.证明 如图所示，建立直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c).∴|AC|＝＝，|BD|＝＝.故|AC|＝|BD|.[课堂小结]1.方程组有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2).2.解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.3.两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ 与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.1.直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是(  )A.(4，1)B.(1，4)C.D.解析 由方程组得即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是.答案 C2.经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是(  )A.2x＋y－8＝0B.2x－y－8＝0C.2x＋y＋8＝0D.2x－y＋8＝0解析 首先解得交点坐标为(1，6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.答案 A3.已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为________.解析 由题意得＝5，解得a＝1或a＝－5.答案 1或－54.求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程.解 由方程组解得∵所求直线l和直线3x＋y－1＝0平行，∴直线l的斜率k＝－3，根据点斜式可得y－＝－3，即所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.基础过关 1.已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则的值为(  )A.B.C.3D.2解析 由两点间的距离公式，得|AC|＝＝4，|CB|＝＝2，故＝＝2.答案 D2.两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为(  )A.－24B.6C.±6D.24解析 在2x＋3y－k＝0中，令x＝0得y＝，将代入x－ky＋12＝0，解得k＝±6.答案 C3.以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是(  )A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析 ∵|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝3，∴三角形为等腰三角形.故选B.答案 B4.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________.解析 设A(x，0)，B(0，y)，∵AB中点P(2，－1)，∴＝2，＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A(4，0)，B(0，－2)，∴|AB|＝＝2.答案 25.若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则k的取值范围是________.解析 由得由于交点在第一象限，故x>0，y>0，解得k>.答案  6.在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使点P到两点A(1，－1)，B(2，0)的距离相等.解 法一 设P点坐标为(x，y)，由P在l上和点P到A，B的距离相等建立方程组解得所以P点坐标为(0，1).法二 设P(x，y)，两点A(1，－1)、B(2，0)连线所得线段的中垂线方程为x＋y－1＝0.①又3x－y＋1＝0，②解由①②组成的方程组得所以所求的点为P(0，1).7.求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标.证明 法一 对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.解方程组得两条直线的交点坐标为(2，－3).将点(2，－3)代入直线方程，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝0.这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).法二 将已知方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.由于m取值的任意性，有解得所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).能力提升8.已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互为垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p为(  )A.24B.20C.0D.－4解析 由垂直性质可得2m－20＝0，m＝10.由垂足可得得∴m－n＋p＝20.答案 B9.两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为(  )A.B.C.D.解析 直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0，过定点 B，由两点间的距离公式，得|AB|＝.答案 C10.过点P(3，0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，则此直线l的方程是________.解析 法一 显然直线l的斜率不存在时，不满足题意，当斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－3)，将此方程分别与l1，l2的方程联立，得和解得xA＝和xB＝，∵P(3，0)是线段AB的中点，∴xA＋xB＝6，即＋＝6，解得k＝8.故直线l的方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.法二 设l1上的点A的坐标为(x1，y1)，∵P(3，0)是线段AB的中点，∴l2上的点B的坐标为(6－x1，－y1)，∴解得∴点A的坐标为，由两点式可得l的方程为8x－y－24＝0.答案 8x－y－24＝011.已知直线l1过点A(2，1)，B(0，3)，直线l2的斜率为－3且过点C(4，2).(1)求l1，l2的交点D的坐标；(2)已知点M(－2，2)，N，若直线l3过点D且与线段MN相交，求直线l3的斜率k的取值范围.解 (1)∵直线l1过点A(2，1)，B(0，3)，∴直线l1的方程为＝，即y＝－x＋3.∵直线l2的斜率为－3且过点C(4，2)，∴直线l2的方程为y－2＝－3(x－4)， 即y＝－3x＋14.联立解得即l1，l2的交点D的坐标为.(2)由题设知kMD＝＝－.kND＝＝3.因为过点D的直线与线段MN相交，故直线l3的斜率k的取值范围为：∪[3，＋∞).探究创新12.某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1，2)，B(4，0)，一条河所在直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水站P使之到A，B两镇的管道最省，问供水站P应建在什么地方？此时|PA|＋|PB|为多少？解 如图所示，过A作直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，因为若P′(异于P)在直线l上，则|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|.因此，供水站只能在点P处，才能取得最小值.设A′(a，b)，则AA′的中点在l上，且AA′⊥l，即解得即A′(3，6).所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0，解方程组得所以P点的坐标为.故供水站应建在点P处，此时|PA|＋|PB|＝|A′B|＝＝.