高二数学两条直线所成的角 两条直线的交点知识精讲 人教版

高二数学两条直线所成的角两条直线的交点知识精讲人教版一.本周教学内容：平面解析几何§1.8两条直线所成的角；§1.9两条直线的交点二.重点、难点分析：本周我们来学习定量刻画两条相交直线位置的量——两条相交直线所成的角，将引入一个新的名词——一条直线到另一条直线的角，即“到角”的概念与求法，另外学习如何求两条相交直线的交点。1.直线l1到直线l2的角：若l1与l2相交，则把l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角，记为θ，则θ∈［0°，180°］若记l1到l2的角为θ1，l2到l1的角为θ2，显然有关系式：θ1+θ2=180°。两条直线相交构成两对对顶角，其中一对大于直角，另一对小于直角，或两对均为直角，则规定“两直线所成的角（简称为夹角）”指不大于直角的这一对对顶角，它的取值范围为［0，90°］。2.如何求两直线所成的角以及“到角”呢？方法如下：（1）若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为k，则可依题意画出图形，易求出夹角从而到角也可求。（2）若两条直线的斜率均存在，但满足1+k1k2=0（k1k2=-1），则意味着这两条直线互相垂直，可知其夹角为90°，到角也为90°。3.设l1：A1x+B1y+C1=0（A1，B1不全为0），l2：A2x+B2y+C2=0（A2，B2不全为0）（1）若l1，l2相交，则交点坐标（x0，y0）是方程组的解，因此欲求两条直线的交点，只需求解由它们的方程组成的方程组。（2）若上述方程组无解，则l1∥l2；（3）若上述方程组有两个以上的解，则l1与l2重合。如此以来，只要已知两直线的方程，即可由此判断它们的位置关系。4.直线系方程：指具有某一共同属性的一类直线的集合，其方程除了含有坐标变量x，y以外，还含有待定系数（或称参变量）常用的一些直线系方程：（1）共点直线系方程：设P（x0，y0）表一定点，则方程 y-y0=k（x-x0）表示过定点P的直线系。（不包括直线x=x0）（2）经过两直线交点的直线系方程：经过两直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为（A1x+B1y+C1）+λ·（A2x+B2y+C2）=0，其中λ为参数。（该方程不能表示直线l2）（3）平行直线系方程：与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+λ=0，其中λ为参数。（4）垂直直线系方程：与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+λ=0，其中λ为参数。注：在求直线方程的问题中，若有一个条件已知，另一个条件待定时，可选用直线系方程求解，实质上，利用直线系方程求解直线方程问题就是我们以前学习过的待定系数法。【典型例题】例1.已知直线l1：4x-3y+1=0，直线l2：12x+5y+13=0（1）求l1与l2构成的两对对顶角的平分线方程；（2）求l1到l2的角。解：（1）设角平分线为l，其斜率为k∵l1到l的角等于l到l2的角即56x-7y+39=0或2x+16y+13=0（2）设l1到l2的角为θ，则例2.求直线l1：x-y-2=0关于直线l：3x-y+3=0对称的直线l2的方程。分析：（1）事实上，直线间的对称性是由点的对称性来定义的，为了确定直线l2，只需在l1上取两点，这两点关于l的对称点必在l2上，此为方法一；（2）依题意，显见l1与l相交，可求出其交点，此点必在l2上，由对称性知，l1到l的角等于l到l2的角，依此可利用到角公式列出以l2的斜率k为未知数的方程，可求出k，点斜式可求出l2，此为方法二；（3）若设l2上任一点坐标为（x，y），利用对称性可标出点（x，y）的对称点（x0，y0 ），再利用点（x0，y0）在已知直线l1上消去x0，y0得到一方程，此方程为l2的方程，此为方法三。解法一：在l1：x-y-2=0上任取两点A（0，-2），B（2，0），它们关于l：3x-y+3=0的∴直线l2的斜率为k=-7，由点斜式，得直线l2的方程为y+1=-7(x+3)，即7x+y+22=0解法二：设l2的斜率为k，∵l1到l的角等于l到l2的角解法三：设P（x，y）是直线l2上任一点，它关于l的对称点为M（x0，y0），则M必在l1上∵l垂直平分线段PM∵M在l1上，∴x0-y0-2=0即7x+y+22=0，此即为l2的方程。注：以上三种方法中，相比较而言，解法（二）较简便，但解法（三）更具一般性，这种求直线方程的方法称为“转移法”（把点P的坐标转移到点M，再代入点M满足子方程），这种方法也适于一般平面曲线的对称问题。例3.已知直线l1经过点P1（0，-1），P2（2，0）两定点，直线l2的方程是x+y-1=0，求直线l1与l2的交点坐标。分析：可先由P1，P2两点确定出直线l1的方程，再解关于l1，l2两直线方程的方程组，求出其交点，此为方法一；公式建立起（x，y）与λ的关系式，再利用点Q在直线l2：x+y-1=0上，求出λ，进而求出交点Q，此为方法二。解法一： 解法二：∵点Q在直线l2上注：解法一属于直接法，而解法二则属于间接法，即采取的是待定系数法，先把所求的点的坐标设出来，再利用题设条件列出方程（如关于λ的方程），进而可求出未知量Q（x，y）这实际上是运用方程的思想解题的一个例子。例4.求经过直线l1：2x+y+8=0与l2：x+y+3=0的交点，且与直线l：2x+3y-10=0垂直的直线方程。分析：依条件可先求出l1与l2的交点坐标，再求出所求直线的斜率，然后由点斜式写出直线方程，这属于直接法；也可采取间接法，即由所求直线与已知直线2x+3y-10=0垂直，设出直线系方程为3x-2y+m=0，再由该直线经过l1与l2的交点，可确定出m，进而得解。解法一：解法二：设所求直线方程为3x-2y+m=0∵该直线经过点P（-5，2）∴所求直线方程为3x-2y+19=0 例5.求证：不论m取何实数，直线(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过一定点。分析：假设结论成立，则意味着取m的两个值所对应的两条直线的交点就是定点，再验证该点坐标满足直线方程即可证明上述问题，不妨称此方法为“特殊值法”；另外，若把含m的项合并，可将原方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0的形式，这正是经过两直线交点的直线系方程，可见直线x+3y-11=0与2x-y-1=0的交点就是所求的定点。证法一：直线x=2与y=3的交点为（2，3）把该点坐标代入直线方程左式，得因此，点（2，3）在直线(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0上∴已知直线（系）必过定点（2，3）证法二：把已知直线方程变形为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0既然m可取任何实数，故∴已知直线（系）恒过定点（2，3）【模拟试题】一.选择题：1.若直线，则到的角是（）A.B.C.D.2.若两直线与的夹角为，则（）A.2B.C.2或D.4或3.直线与的位置关系为（）A.相交B.平行C.相交或平行D.平行或垂直4.若三直线交于一点，则可能是（）A.B.C.D.5.当a为任何实数时，直线恒过一个定点，则该定点为（）A.（2，3）B.C.D.二.填空题：1.直线与的夹角为_________.2.中，，则的内角平分线所在直线方程为_________.3.直线经过两直线与的交点，则_________.4.已知，点B在直线上，若直线AB与直线 垂直，则点B的坐标为_________.。三.解答题：1.光线沿直线射到直线上一点P后被反射，求反射光线所在直线方程。2.中，BC边上的高所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，若点B的坐标为（1，2），求顶点A、C的坐标。 [参考答案]http://www.DearEDU.com一.选择题：1.D2.C3.C4.A5.B二.填空题：1.夹角为或写为2.提示：设平分线所在直线l的斜率为k，由AC到l的角等于l到AB的角可列出k的方程，再由点斜式可求出l的方程。（注意：要结合图形确定哪条直线为所求）3.4.B（2，3）提示：由B在直线上，可设，由，得，即，从而B（2，3）三.解答题：1.解：设反射光线所在直线的斜率为k，则依题意，得，解得由解得入射光线与直线l的交点，即入射点坐标为由点斜式，得反射光线所在直线方程为，即2.解：显然点A是两直线AD与AE之交点（如图）由解得顶点A的坐标为直线，由点斜式，得直线BC的方程为，即［而点C是直线BC与AC的交点，（只需再求出直线AC的方程）］设直线AC斜率为k，而，且AD平分，得直线AC方程为由解得顶点C坐标为