例说两条直线交点轨迹求解策略

例说两条直线交点轨迹的求解策略河北唐山第六十二中学张俊如063030求两条直线交点的轨迹是轨迹问题中的重要题型，但学生由于不能灵活运用知识间的相互联系，选择适当的方法，解题时困难较大。下面结合实例说明此类问题的解题策略。例1：（2000年春季高考）已知抛物线，，O为顶点，A、B为抛物线上两动点，且满足，如果于，求点的轨迹方程。xyOMBAQ图1分析一：因点是直线与的交点，所以，联想到写出直线与的方程，用方程组消参的方法求解，其中可转化为解法1：（方程组消参法）设，，，则，，因为，所以解得：又因为所以，直线AB的方程为：即…………………………….①又因为，所以直线的方程为：…………………..②由①②得：即：，………………③当直线AB与轴垂直时，可求M的坐标为，满足方程③ 故所求点M的轨迹方程为分析二：因直线OM过定点，由解题经验可知,若，则直线AB必过轴上的一个定点，记为，所以，联想到先求出定点Q的坐标，再用求解。解法2：设，直线AB的方程为并设，由得所以，，又因为，，所以所以,.所以直线AB的方程为即：所以直线AB过定点又因为，，所以即：…………..（*）当直线AB与轴垂直时，易求得M点的坐标为,也满足方程(*) 故所求点M的轨迹方程为：OAMNl1l2xy图2B点评：解法1中方程组消参法是求两动直线交点轨迹方程的重要方法，消参的方法很多，因题而异，应灵掌握。解法2中用到了直线过定点，这要求学生在解题时，要善于总结题目的规律特征，解题的经验对解高考题是很重要的，解此题时很多考生都没有讨论直线AB与轴垂直的情况，应引起重视。例2：已知M是双曲线上的动点，点A、B分别是双曲线的左右顶点，l1与l2分别是过A、B两点的直线，且l1⊥MA,l2⊥MB,求两条直线l1与l2的交点N的轨迹方程。分析一：将NB⊥MB,NA⊥MA转化为斜率之积等于－1，由点N满足的两个已知条件列出方程组，采取整体消参法。解法1：设，，因为，，所以由（1）（2）得因为，所以代入（3）得，即：经检验点、不合题意，所以，N点轨迹方程为，（点、除外）分析二：因为点N随着点M的运动而运动，说明点N的坐标与点M的坐标一定有着内在的联系，而点M又在已知的双曲线上运动，所以联想到用代入法求解。解法2：设，，因为，，， ，所以由(2)－(1)得,∴把(3)代入(1)得把（3）（4）代入得经检验点、不合题意,所以N点的轨迹方程为，（点、除外）点评：求两条直线交点的轨迹方程的常规方法是方程组消参法。当两个动点存在某种内在的联系，而其中一个动点在已知曲线上运动，求另一个动点的轨迹方程，经常采用代入法求解。