高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.2 两点间的距离 学案（含解析）

3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离1．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．(重点)2．会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系．(难点)3．掌握两点间的距离公式并会简单应用．(重点)[基础·初探]教材整理1 两直线的交点坐标阅读教材P102～P103“探究”以上部分，完成下列问题．已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若两直线方程组成的方程组有惟一解则两直线相交，交点坐标为(x0，y0)．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是(  )A．(4,1) B．(1,4)C.D.【解析】 由方程组得即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是.【答案】 C教材整理2 两点间的距离阅读教材P104“练习”以下至P105“例3”以上部分，完成下列问题．1．平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.2．两点间距离的特殊情况(1)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. (2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|.(3)当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|.已知点A(－1,2)，点B(2,6)，则线段AB的长为__________．【解析】 由两点间距离公式得|AB|＝＝5.【答案】 5[小组合作型]两直线的交点问题 直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－2y＋4＝0平行，求直线l的方程.【精彩点拨】 先求出交点，再由点斜式求方程或设出过交点的直线系方程，由待定系数法求方程．【自主解答】 法一 联立方程解得即直线l过点(－1,3)．因为直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－3＝(x＋1)，即3x－2y＋9＝0.法二 因为直线x＋y－2＝0不与3x－2y＋4＝0平行，所以可设直线l的方程为x－y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，整理得(1＋λ)x＋(λ－1)y＋4－2λ＝0，因为直线l与直线3x－2y＋4＝0平行，所以＝≠，解得λ＝，所以直线l的方程为x－y＋＝0，即3x－2y＋9＝0.1．解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是设出过两直线交点的方程，再根据平行条件待定系数求解． 2．过两条相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程可设为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含直线l2)．[再练一题]1．求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．【解】 法一 由方程组解得即l1与l2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，∴其斜率k＝＝－1.故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.法二 ∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.将原点坐标(0,0)代入上式，得λ＝1，∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.两点间距离公式的应用 已知△ABC的三个顶点坐标是A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)．(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积．【精彩点拨】 (1)先依据已知条件，画出草图，判断△ABC的大致形状，然后从边着手或从角着手确定其形状；(2)结合三角形形状求解．【自主解答】 (1)法一 ∵|AB|＝＝2，|AC|＝＝2，又|BC|＝＝2，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．法二 ∵kAC＝＝，kAB＝＝－，则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝＝2，|AB|＝＝2，∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形．(2)△ABC的面积S△ABC＝|AC|·|AB|＝×2×2＝26.1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．[再练一题]2．若等腰三角形ABC的顶点A是(3,0)，底边BC的长为4，BC边的中点为D(5,4)，求等腰△ABC的腰长．【解】 因为|AD|＝＝2.在Rt△ABD中，由勾股定理得|AB|＝＝＝2.所以等腰△ABC的腰长为2.[探究共研型]坐标法的应用探究1 在如图331所示平面直角坐标系中，你能用代数方法证明等腰梯形ABCD的对角线|AC|＝|BD|吗？ 图331【提示】 设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)．∴|AC|＝＝.|BD|＝＝.故|AC|＝|BD|.探究2 已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.【提示】 以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)，斜边BC的中点为M，所以点M的坐标为，即.由两点间距离公式得|BC|＝＝，|AM|＝＝，故|AM|＝|BC|. 在△ABC中，AD是BC边上的中线．求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．【精彩点拨】 ―→【自主解答】 以边BC所在直线为x轴，以D为原点，建立坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a,0)，则B(－a,0)． ∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．1．坐标法的定义：通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法．2．利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；(2)用坐标表示有关的量；(3)将几何关系转化为坐标运算；(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．[再练一题]3．用坐标法证明：如果四边形ABCD是长方形，而对任一点M，等式|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2成立．【证明】 取长方形ABCD的两条边AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设长方形ABCD的四个顶点为A(0,0)，B(a,0)，C(a，b)，D(0，b)，在平面上任取一点M(m，n)，则|AM|2＋|CM|2＝m2＋n2＋(m－a)2＋(n－b)2，|BM|2＋|DM|2＝(m－a)2＋n2＋m2＋(n－b)2，所以|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2. 1．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于(  )A．5        B.C.D．4【解析】 |MN|＝＝5.【答案】 A2．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为(  )A．6         B.C．2D．不能确定【解析】 由kAB＝1，得＝1，∴b－a＝1.∴|AB|＝＝＝.【答案】 B3．已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是________．【解析】 l1与l2相交，则有≠，∴a≠2.【答案】 a≠24．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________.【解析】 设A(x,0)，B(0，y)，∵AB的中点为P(2，－1)，∴＝2，＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A(4,0)，B(0，－2)，∴|AB|＝＝2.【答案】 25．分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1)平行于直线l1：4x－2y－7＝0；(2)垂直于直线l2：3x－2y＋4＝0.【解】 解方程组得交点P(1,1)．(1)若直线与l1平行，∵k1＝2，∴斜率k＝2，∴所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即：2x－y－1＝0. (2)若直线与l2垂直，∵k2＝，∴斜率k＝－＝－，∴所求直线方程为y－1＝－(x－1)，即：2x＋3y－5＝0.