直线和椭圆的交点问题

线和椭圆的交点问题  1．若直线与椭圆恒有公共点，求实数m的取值范围。  解法一：由可得，∴即∴且  解法二：直线恒过一定点（0,1）当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭圆恒有交点，则即当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点，即      综述：且  解法三：直线恒过一定点（0,1）要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点（0,1）在椭圆内部，即 ∴且二、直线截椭圆所得弦长问题  2．已知椭圆，直线交椭圆于AB，求AB的长.  解法一：设A、B两点坐标分别为和      将直线方程代入椭圆方程      得关于的方程      ∴      又。      ∴AB长为。  解法二：∵直线过（1，0）点，即椭圆的右焦点∴       ∴AB长为。  评注：法二利用了椭圆的焦半径公式，椭圆上一点到左、右焦点的距离分别为和。三、直线截椭圆所得弦中点有关问题  3．已知椭圆方程为，求：  （1）中点为（4，1）的弦所在直线的方程；  （2）斜率为3的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹；  （3）过点（4，3）的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹。  解析：设直线与椭圆交点为，，则①     ②  ①－②得③（1）∵弦中点坐标为（4，1），∴，，   则由③式得直线斜率为∴直线方程为，即。（2）设弦中点坐标为，则由③式可得④ 又∵ ∴，即轨迹方程为。（3）同（2），可知轨迹上的点是方程④的解而，∴⑤将⑤代入④可得        当 时，直线与椭圆相交于和,中点为（4，0），        经验证，也在上述椭圆上∴轨迹方程为。