高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.2 两点间的距离 学案
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高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.2 两点间的距离 学案

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时间:2022-08-25

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资料简介
3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离学习目标核心素养1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.(重点)2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.(难点)3.掌握两点间距离公式并会应用.(重点)1.通过两直线交点坐标的学习,提升数学运算、直观想象的数学素养.2.通过两点间距离学习,培养逻辑推理和直观想象的数学素养.1.两条直线的交点坐标几何元素及关系代数表示点AA(a,b)直线ll:Ax+By+C=0点A在直线l上Aa+Bb+C=0直线l1与l2的交点是A方程组的解是2.两直线的位置关系法一:代数法直线l1,l2联立得方程组⇔   (代数问题) (几何问题)法二:几何法3.两点间的距离公式(1)平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|=.(2)两点间距离的特殊情况①原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=.②当P1P2∥x轴(y1=y2)时,|P1P2|=|x2-x1|. ③当P1P2∥y轴(x1=x2)时,|P1P2|=|y2-y1|.思考:两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|=的形式?[提示] 可以,原因是=,也就是说公式中P1,P2两点的位置没有先后之分.1.直线x=1和直线y=2的交点坐标是(  )A.(2,2)B.(1,1)   C.(1,2)   D.(2,1)C [由得交点坐标为(1,2),故选C.]2.已知A(3,7),B(2,5),则A,B两点间的距离为(  )A.5B.C.3D.B [由平面内两点间的距离公式可知|AB|==.]3.已知△ABC的顶点A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则△ABC的周长是(  )A.2B.3+2C.6+3D.6+C [|AB|==3,|BC|==3,|AC|==3,则△ABC的周长为6+3.]两直线的交点问题【例1】 分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点.(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.[解] (1)方程组的解为因此直线l1和l2相交,交点坐标为(3,-1).(2)方程组有无数个解,这表明直线l1和l2重合.(3)方程组无解, 这表明直线l1和l2没有公共点,故l1∥l2.两条直线相交的判定方法方法一:联立直线方程解方程组,若有一解,则两直线相交.方法二:两直线斜率都存在且斜率不等.方法三:两直线的斜率一个存在,另一个不存在.1.判断下列各对直线的位置关系.若相交,求出交点坐标:(1)l1:2x+y+3=0,l2:x-2y-1=0;(2)l1:x+y+2=0,l2:2x+2y+3=0.[解] (1)解方程组,得所以直线l1与l2相交,交点坐标为(-1,-1).(2)解方程组①×2-②,得1=0,矛盾,方程组无解.所以直线l1与l2无公共点,即l1∥l2.两点间距离公式的应用【例2】 已知△ABC三顶点坐标A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.[解] 法一:∵|AB|==2,|AC|==2,又|BC|==2,∴|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|,∴△ABC是等腰直角三角形.法二:∵kAC==,kAB==-,则kAC·kAB=-1,∴AC⊥AB.又|AC|==2,|AB|==2, ∴|AC|=|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形.1.判断三角形的形状,要采用数形结合的方法,大致明确三角形的形状,以确定证明的方向.2.在分析三角形的形状时,要从两方面考虑:一是要考虑角的特征,主要考察是否为直角或等角;二是要考虑三角形的长度特征,主要考察边是否相等或是否满足勾股定理.2.若等腰三角形ABC的顶点A(3,0),底边BC的长为4,BC边的中点为D(5,4),求等腰△ABC的腰长.[解] 因为|AD|==2.在Rt△ABD中,由勾股定理得|AB|===2.所以等腰△ABC的腰长为2.经过两条直线交点的直线方程[探究问题]1.如何求两条直线的交点坐标?[提示] 求两条直线的交点坐标只需将两条直线方程联立解方程组即可.2.已知直线过一定点如何求其方程?[提示] 已知直线过定点求其方程若斜率存在只需求出斜率即可.3.怎样表示过两条直线交点的直线系方程?[提示] 过两条直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2的方程).【例3】 求过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.思路探究:→→[解] 法一:解方程组得所以两直线的交点坐标为.又所求直线与直线3x+y-1=0平行,所以所求直线的斜率为-3. 故所求直线方程为y+=-3,即15x+5y+16=0.法二:设所求直线方程为(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0,即(2+λ)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0.(*)由于所求直线与直线3x+y-1=0平行,所以有得λ=.代入(*)式,得x+y+=0,即15x+5y+16=0.1.本例中将“3x+y-1=0”改为“x+3y-1=0”,则如何求解?[解] 由例题知直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点坐标为,直线l与x+3y-1=0平行,故斜率为-,所以直线l的方程为y+=-,即5x+15y+24=0.2.本例中若将“平行”改为“垂直”,又如何求解?[解] 设所求直线方程为(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0,即(2+λ)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0,由于所求直线与直线3x+y-1=0垂直,则3(2+λ)+(λ-3)×1=0,得λ=-,所以所求直线方程为5x-15y-18=0.过两条直线交点的直线方程的求法(1)常规解法(方程组法):一般是先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.(2)特殊解法(直线系法):先设出过两条直线交点的直线方程,再结合其他条件用待定系数法求出参数,最后确定直线方程.3.直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,则直线l的方程为(  ) A.2x+y=0B.2x-y=0C.x+2y=0D.x-2y=0B [设所求直线方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,即(2+λ)x+(3-λ)y+8-λ=0,因为l过原点,所以λ=8.则所求直线方程为2x-y=0.]1.方程组有唯一解的等价条件是A1B2-A2B1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2-A2B1≠0.直线A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)是过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线(不含l2).2.解析法又称为坐标法,它就是通过建立直角坐标系,用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.3.两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|=与两点的先后顺序无关,其反映了把几何问题代数化的思想.1.下列各直线中,与直线2x-y-3=0相交的是(  )A.2ax-ay+6=0(a≠0)B.y=2xC.2x-y+5=0D.2x+y-3=0D [直线2x-y-3=0的斜率为2,D选项中的直线的斜率为-2,故D选项正确.]2.已知直线l1:3x+4y-5=0与l2:3x+5y-6=0相交,则它们的交点是(  )A.  B.C.D.B [由得]3.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为(  )A.1B.-5C.1或-5D.-1或5C [|AB|==5,解得a=1或-5.]4.已知A(-1,0),B(5,6),C(3,4),则=________.2 [由两点间的距离公式,得|AC|==4, |CB|==2,故==2.]5.已知点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.[解] 设所求点P(x,0),于是由|PA|=|PB|得=,即x2+2x+5=x2-4x+11,解得x=1.所以,所求P点坐标为(1,0),|PA|==2.

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