高一数学必修2直线一般式、交点坐标和距离

直线一般式、交点坐标和距离一、直线一般式方程(1)定义：关于x，y的二元一次方程________________(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．(3)系数的几何意义：①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．(4)直线方程五种形式的比较名称方程常数的几何意义适用条件点斜式一般情况y－y0＝k(x－x0)(x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率直线不垂直于x轴斜截式y＝kx＋bk是斜率，b是直线在y轴上的截距直线不垂直于x轴两点式一般情况＝(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点直线不垂直于x轴和y轴截距式＋＝1a，b分别是直线在x轴，y轴上的两个非零截距直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式Ax＋By＋C＝0A，B不同时为0A，B，C为系数任何情况特殊直线x＝a(y轴：x＝0)垂直于x轴且过点(a,0)斜率不存在y＝b(x轴：y＝0)垂直于y轴且过点(0，b)斜率k＝0例题解析例1.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是，且经过点A(5,3)；(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；(4)在x轴，y轴上的截距分别是－3，－1.变式：已知直线mx＋ny＋12＝0在x轴、y轴上的截距分别是－3和4，求m，n的值.5 变式：设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0，根据下列条件分别确定实数m的值.(1)l在x轴上的截距是－3；(2)斜率是－1.例2.求与直线3x＋4y＋8＝0平行且过点(3，－2)的直线l的方程.变式1：已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1∥l2？l1⊥l2?变式2：已知点A(1,2)，B(2,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是(A.x＋y－3＝0B.x－y＋1＝0C.x－y＝0D.x＋y＝0变式3：已知某四边形是平行四边形，其中三点的坐标分别为A(1,5)，B(－1,1)，C(3,2)，求第四个点D的坐标.变式4：直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图像只可能是下图中的(  )变式5：求平行于直线2x－y＋3＝0，且与两坐标轴围成的直角三角形面积为9的直线方程．一、两直线交点坐标、距离（一）两直线交点(1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．(2)应用：可以利用两直线的交点个数判断两直线的位置关系．一般地，将直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的方程联立，得方程组当方程组_有唯一解时，l1和l2相交，方程组的解就是交点坐标；当方程组__无___解时，l1与l2平行；当方程组___无数___解时，l1与l2重合．例题解析题型一：两直线的交点问题5 例1.判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0变式1：(1)已知直线l1的方程为Ax＋3y＋C＝0，直线l2的方程为2x－3y＋4＝0，若l1，l2的交点在y轴上，则C的值为(  )A．4B．－4C．±4D．与A有关(2)已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________．题型二：直线恒过定点问题例2.求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一个定点．变式：直线(2m－1)x－(m＋2)y＋m＝－3(m∈R)恒过定点(  )A．(，2)    B．(2，－1)C．(，)D．(，)题型三：用过两直线交点的直线系方程解题例3.已知直线l1：x－2y＋3＝0，l2：2x＋3y－8＝0.求经过l1，l2的交点且与已知直线3x＋4y－2＝0平行的直线l的方程．变式1：求过两直线3x＋4y－2＝0与2x＋y＋2＝0的交点且垂直于直线6x－7y－3＝0的直线方程．变式2：若三条直线x＋y＋1＝0,2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0共有三个不同的交点，则a的取值范围为________．变式3：已知直线l1：4x＋3y＝10，l2：2x－y＝10，l3：ax＋2y＋8＝0，则l1与l2的交点为________；若l1，l2，l3三直线相交于同一点，则a＝________.（二）距离1、点点距离：（两点间的距离公式）(1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝________________________.(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．例1.已知A(a,3)和B(3,3a＋3)的距离为5，求a的值．变式1：已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为________变式2：已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0)．(1)判定△ABC的形状；(2)求△ABC的面积．5 变式3：正方形ABCD的边长为6，若E是BC的中点，F是CD的中点，试建立坐标系，求证：BF⊥AE.变式4：已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，若|AB|取得最小值，则实数a的值是________．2、点线距离与线线距离1．点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝________________.点到几种特殊直线的距离：(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；(3)点P(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|；(4)点P(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|.2．两条平行直线间的距离(1)定义：夹在两条平行直线间公垂线段的长叫做这两条平行直线间的距离．(2)求法：转化为求点到直线的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离．(3)公式：一般地，已知两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)．设P(x0，y0)是直线l2上的任意一点，则Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，于是P(x0，y0)到直线l1：Ax＋By＋C1＝0的距离d＝＝.此式就是两条平行直线l1与l2间的距离公式．题型一：点到直线的距离公式例1.已知点A(2,1)，B(3,4)，C(－2，－1)，求△ABC的面积．变式：题型二：两条平行直线间距离公式的应用例2.求两平行线l1：3x＋4y＝12和l2：3x＋4y＝17间的距离.变式1：(1)两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于(  )A．3B．7C．D．(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0平行且距离相等，则l的方程为________．变式2：若A(1,4)，B(－3,1)，过点B的直线l与点A的距离为d.(1)d的取值范围为________；(2)当d取最大值时，直线l的方程为________．(3)当d＝4时，直线l的方程为________．5 变式3：直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．5