新人教A版必修2 高中数学 3.3.1 两直线的交点坐标 导学案

第八章第2讲 直线的交点坐标与距离公式1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.1个重要技巧——与已知直线垂直及平行的直线系的设法与Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)；与Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.2个必记公式——有关对称的两个重要公式(1)若两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式求得ab的值，即a＝，b＝.(2)若两点M(x1，y1)，N(x2，y2)关于直线Ax＋By＋C＝0(A≠0)对称，则3点必须注意——直线方程应用中的注意事项(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应先化为一般式．(3)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相同.考点1 两条直线的位置关系1.两条直线平行对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔，特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为2．两条直线垂直①如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则l1⊥l2⇔.②如果l1、l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为3．两直线相交交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．相交⇔方程组有，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组；重合⇔方程组有 ①两条不重合直线的斜率相等是这两条直线平行的什么条件？②两条直线的斜率之积为－1是这两条直线垂直的什么条件？ (1)已知两条直线l1：x＋2y＋1＝0，l2：x＋my＝0，若l1∥l2，则实数m＝.(2)过点A(2,6)，且垂直于直线x－y－2＝0的直线方程为.考点2 三种距离公式1.平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.3．两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝. 在应用点到直线的距离公式与平行线之间的距离公式时应注意什么问题 (1)两条平行直线5x－12y－2＝0与5x－12y＋24＝0之间的距离等于.(2)与直线3x＋4y＝5平行，并且距离等于3的直线方程是考向一 例1 [2014·福州模拟]已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．[易错点拨] 在运用直线的斜截式方程y＝kx＋b时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况．运用直线的一般式Ax＋By＋C＝0时，要特别注意A或B为零时的特殊情况．两直线位置关系问题的解题策略(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．(2)①若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则直线l1⊥l2的充分条件是k1·k2＝－1.②设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 1.(1)若直线ax＋2y－6＝0与x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a＝________. (2)已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________．考向二 例2 已知点P(2，－1)．(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ 是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．距离问题求解时注意的事项求点到直线的距离时，要注意把直线方程化成一般式的形式；求两条平行线之间的距离时，可先把两平行线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可转化成点到直线距离求解． 2.已知直线l过两直线3x＋4y－5＝0,2x－3y＋8＝0的交点，且与A(2,3)，B(－4,5)两点距离相等，则直线l的方程为________．3.已知点A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2.考向三 例3 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程． 本例已知条件不变，则直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程该如何求解？对称问题的解题策略解决成中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由垂直列一方程，由平分列一方程，联立求解． 4.[2014·合肥质检]已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是(  )A.x－2y＋1＝0      B.x－2y－1＝0C.x＋y－1＝0D.x＋2y－1＝05.已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．题型技法系列13——巧用对称变换的思想方法化繁为简[2013·湖南高考]在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于(  )A.2      B.1C.D.