3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离
1.两条直线的交点坐标已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将方程联立,得方程组若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标.若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行.
【思考】对于l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,若方程组有无数组解,那么直线l1,l2是什么位置关系?提示:方程组有无数组解,直线l1,l2有无数个公共点,直线l1,l2重合.
2.两点间的距离公式两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|=,特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=.
【思考】两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式能否表示为|P1P2|=?提示:能,因为=.
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若A+B+C=0(A,B不同时为0),则直线Ax+By+C=0一定过点(1,1).()
(2)已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若x1≠x2,y1=y2,则|P1P2|=|x2-x1|.()(3)若直线l1,l2的方程组成的方程组有解,则l1与l2一定相交.()
提示:(1)√.由A+B+C=0,即A·1+B·1+C=0,所以直线Ax+By+C=0一定过点(1,1).(2)√.|P1P2|==|x2-x1|.(3)×.因为直线l1与l2有可能重合.
2.(2019·张家界高一检测)直线l1:x-y=0与l2:x+y-2=0的交点坐标为()A.(-2,-2)B.(-1,-1)C.(2,2)D.(1,1)
【解析】选D.联立所以直线l1与l2的交点坐标为(1,1).
3.点A(1,2)与点B(2,3)之间的距离|AB|=_______.【解析】点A(1,2)与点B(2,3)之间的距离|AB|=答案:
类型一 求两条直线的交点坐标【典例】1.若直线x+by+9=0经过直线5x-6y-17=0与直线4x+3y+2=0的交点,则b等于()A.2B.3C.4D.5
2.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为()A.-24B.24C.6D.±6
【思维·引】1.由已知两直线解出交点,代入未知直线求b;2.用k表示出交点坐标,令纵坐标为0求k.
【解析】1.选D.联立所以直线5x-6y-17=0与直线4x+3y+2=0的交点为(1,-2),因为直线x+by+9=0经过点(1,-2),所以1-2b+9=0,解得b=5.
2.选A.联立因为直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,所以y==0,解得k=-24.
【内化·悟】求两直线交点的步骤是什么?提示:联立、消元、求解.
【类题·通】解二元一次方程组的常用方法解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.(1)若一条直线的方程是斜截式,常常应用代入消元法解方程组.
(2)若直线的方程都是一般式,常常应用加减消元法解方程组.
【习练·破】直线l1:3x-y+12=0和l2:3x+2y-6=0及y轴所围成的三角形的面积为________.
【解析】易知三角形的三个顶点坐标分别为(-2,6),(0,12),(0,3),故所求三角形的面积为×9×2=9.答案:9
类型二 过定点的直线问题【典例】1.(2019·衢州高一检测)直线mx-3y+2m+3=0,当m变动时,所有直线都经过的定点坐标为()A.(-2,1)B.(1,2)C.(1,-2)D.(2,1)
2.经过两条直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点,且垂直于直线3x-2y+4=0的直线方程为________.
【思维·引】1.将m作为参数,把方程变形,令m的系数为零求定点.2.方法一:求出交点、斜率,写出点斜式方程后化为一般式;方法二:利用两相交直线的方程设出所求的直线方程,根据垂直求其中的参数.
【解析】1.选A.直线mx-3y+2m+3=0,即直线m(x+2)-3y+3=0,令故直线mx-3y+2m+3=0经过定点(-2,1).
2.方法一:由垂直于直线3x-2y+4=0的直线的斜率为-,故所求的直线方程为y-2=-(x+2),即2x+3y-2=0.
方法二:设所求方程为2x-3y+10+λ(3x+4y-2)=0,即(2+3λ)x+(4λ-3)y+10-2λ=0,由题意,3(2+3λ)-2(4λ-3)=0,解得λ=-12,故所求的直线方程为2x+3y-2=0.答案:2x+3y-2=0
【内化·悟】怎样求含参数的直线所过的定点?提示:方程变形为关于字母参数的方程,令其“系数”、“常数”为零,解出定点.
【类题·通】1.过两条直线交点的直线方程的求法(1)常规解法(方程组法):一般是先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.
(2)特殊解法(直线系法):先设出过两直线交点的直线方程,再结合条件利用待定系数法求出参数,最后确定直线方程.
2.含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一:任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点,从而问题得解.
(2)方法二:若能整理为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,其中λ是参数,这就说明了它表示的直线必过定点,其定点可由方程组解得.若整理成y-y0=k(x-x0)的形式,则表示的直线必过定点(x0,y0).
【习练·破】1.(2019·东阳高一检测)方程(a-1)x-y+2a+1=0所表示的直线恒过点()A.(2,3)B.(-2,-3)C.(3,-2)D.(-2,3)
【解析】选D.方程(a-1)x-y+2a+1=0,化为:a(x+2)-x-y+1=0,令解得x=-2,y=3,所表示的直线恒过点(-2,3).
2.直线l过直线x+y-2=0和直线x-y+4=0的交点,且与直线3x-2y+4=0平行,求直线l的方程.
【解析】方法一:联立方程即直线l过点(-1,3).因为直线l的斜率为,所以直线l的方程为y-3=(x+1),即3x-2y+9=0.
方法二:设直线l的方程为x-y+4+λ(x+y-2)=0,整理得(1+λ)x+(λ-1)y+4-2λ=0,因为直线l与直线3x-2y+4=0平行,所以解得λ=,所以直线l的方程为即3x-2y+9=0.
【加练·固】直线kx-y+1-3k=0,当k变化时,所有直线都通过定点()A.(0,0)B.(0,1)C.(3,1)D.(2,1)
【解析】选C.直线方程整理为k(x-3)-(y-1)=0,过定点(3,1).
类型三 平面内两点间距离公式的应用角度1两点间距离的计算【典例】(2019·深圳高一检测)两直线l1:3ax-y-2=0和l2:(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A,B,则|AB|等于()
【思维·引】先求出定点A,B的坐标,再利用距离公式进行计算.
【解析】选C.直线3ax-y-2=0经过定点A(0,-2),(2a-1)x+5ay-1=0,化为:a(2x+5y)-x-1=0,令解得x=-1,y=,即直线(2a-1)x+5ay-1=0过定点B则|AB|=
【素养·探】在距离公式的应用过程中,常常用到核心素养中的数学运算,通过距离的计算及公式的灵活应用解题.本例中,将条件中直线l2的方程换为(m-1)x+(2m-1)y=m-5,试求两定点之间的距离.
【解析】由例题解析可知A(0,-2),将(m-1)x+(2m-1)y=m-5化为:m(x+2y-1)-(x+y-5)=0,令解得所以B点坐标为(9,-4),所以|AB|=
角度2距离公式在几何证明中的应用【典例】在△ABC中,AD是BC边上的中线,求证:|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).【思维·引】建立平面直角坐标系,通过计算AB,AC,AD,DC进行证明.
【证明】设BC所在边为x轴,以D为原点,建立坐标系,如图所示,设A(b,c),C(a,0),则B(-a,0),
因为|AB|2=(a+b)2+c2,|AC|2=(a-b)2+c2,|AD|2=b2+c2,|DC|2=a2,所以|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2),|AD|2+|DC|2=b2+c2+a2,所以|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).
【类题·通】用坐标法(解析法)解决几何问题的基本步骤第一步:建立适当的直角坐标系,用坐标表示有关的量;
第二步:进行有关的代数计算;在分析三角形的形状时,要从两方面考虑:一是要考虑角的特征,主要考查是否为直角;二是要考虑三角形边的长度特征,主要考查边是否相等或是否满足勾股定理.
第三步:把代数运算结果“翻译”成几何关系.提醒:建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算.
【习练·破】已知:在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角线为AC和BD.求证:|AC|=|BD|.
证明:如图所示,建立直角坐标系,设A(0,0),B(a,0),C(b,c),则点D的坐标是(a-b,c)所以|AC|=|BD|=故|AC|=|BD|.
【加练·固】△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形,用坐标法证明|AE|=|CD|.
【解题指南】以B为坐标原点,直线AC为x轴建系,表示出点A,C,D,E的坐标,用两点间距离公式计算|AE|和|CD|进行证明.
【证明】如图,以B为坐标原点,直线AC为x轴,建立直角坐标系,设△ABD和△BCE的边长分别为a,c,则A(-a,0),C(c,0),
则|AE|=|CD|=所以|AE|=|CD|.
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