高考数学复习点拨 直线的交点坐标与距离公式教材解读（人教课标A版必修2）

直线的交点坐标与距离公式——教材解读一、要点点拨1．两条直线的交点坐标（1）基本知识——点与坐标的一一对应关系几何元素及关系代数表示点直线：点在直线上直线与的交点是方程组的解是（2）两直线的交点一般地，将两条直线的方程联立，得方程组。若方程组有唯一解，则两直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两直线平行。说明：①判断两条直线的位置关系，除了用直线的斜率外，还可以利用直线的方程进行判断。②当两条直线的方程组成的方程组无解时，两条直线无交点，所以两直线平行；当两条直线的方程组成的方程组有唯一解时，两条直线有一个交点，所以两直线相交；当两条直线的方程组成的方程组有无数个解时，两条直线有无数个交点，所以两直线重合。③求两条直线的交点坐标，就是将直线的方程联立，解方程组即可，体现了用方程思想研究曲线，用代数研究几何的思想。④与相交的条件是或。2．两点间距离公式设、，则两点间的距离公式为。说明：（1）特别地，原点与任一点的距离。用心爱心专心 （2）公式中，、的位置没有先后之分。（3）当轴时，；当轴时，。若能确定、的次序，可直接去掉绝对值。3．点到直线的距离点到直线：的距离为。说明：（1）使用点到直线的距离公式的前提条件是把直线方程化为一般式方程。（2）点到直线的距离是点与直线上点的最短距离。（3）若直线平行于轴，即时，直线方程为，所以；若直线平行于轴，即时，直线方程为，所以。4．两条平行线间的距离两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离。说明：（1）两条平行线间的距离，就是在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，该方法体现了化归思想，即由线线距离到点线距离的转化，当然点线距离也可以化归为点点间的距离来求解。（2）一般地，两平行直线：，：，则与的距离为，在应用该公式时，一定先将两条直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数要保持一致。二、范例点悟例1求过点且与点和距离相等的直线的方程。分析1：利用点到直线的距离公式建立等式求斜率。解析1：设直线的方程为，即。由题意知，用心爱心专心 即，∴。∴直线的方程为，即；当直线的斜率不存在时，直线方程为，也适合题意。故所求直线的方程为或。分析2：、两点到直线的距离相等，有两种情况：①//；②过中点。解析2：当//时，有，直线的方程为，即。当过中点时，中点为，∴直线的方程为。故所求直线的方程为或。评注：按常规解法已知一点求直线方程，通常会设点斜式方程，但要注意斜率不存在的情况本题解析2利用数形结合的思想使运算量大为减少。例2已知直线经过点且被两平行直线：和：截得的线段长为5，求直线的方程。分析：可直接设点斜式方程，求与两直线的交点，利用两点间的距离公式求解，但要注意斜率不存在的情况。解析：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时与的交点分别为和，截得的线段长，符合题意。若直线的斜率存在，则设直线的方程为。解方程组得；解方程组得。由得，解之得，∴所求的直线方程为。综上可知，所求的方程为或。用心爱心专心 评注：该例应用了直线的点斜式方程，但要考虑到斜率的存在性，应当进行分类讨论，这是解决这类问题最容易忽略的地方。例3已知三条直线：，：，：，且与的距离为。（1）求的值；（2）能否找到一点，使得点同时满足下列三个条件：①是第一象限的点；②点到的距离是点到距离的；③点到的距离与点到的距离之比是：。若能，求点坐标；若不能，说明理由。分析：求解本题的必须工具是几个公式：平行直线间的距离公式，点到直线的距离公式。对于第（2）问，应解一个由①②③三个条件建立起来的方程组。解析：（1）可化为，∴与的距离。∴，∵，∴。（2）设点，若点满足条件②，则点在与、平行的直线：上，且，即，或。∴，或。若点满足条件③，由点到直线的距离公式有，即。∴，或。由在第一象限，∴不合题意，舍去。联立方程和，解得不合题意，舍去。用心爱心专心 由解得。∴即为同时满足三个条件的点。评注：与直线平行的所有直线总能设为的形式，而两条平行直线间的距离除有公式表示外，总能看成是其中一条上的任一点到另一直线的距离，最终化归为点到直线的距离。用心爱心专心