新人教A版必修2 高中数学 3.3.1 两直线的交点坐标 课件

第二节直线的交点坐标与距离公式 三年2考高考指数:★1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 1.两点间距离公式、点到直线的距离公式,两平行线间的距离公式是高考的重点；2.常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇命题；3.多以选择题和填空题为主，有时与其他知识点交汇，在解答题中考查. 1.两条直线的交点直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组的解一一对应.相交方程组有_______，交点坐标就是方程组的解；平行方程组______；重合方程组有__________.唯一解无解无数组解 【即时应用】(1)思考：如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？提示：当两直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两直线平行；有无数个交点时，两直线重合. (2)直线l1：5x+2y-6=0与l2：3x-5y-16=0的交点P的坐标是____.【解析】由直线l1与l2所组成的方程组得：，∴直线l1：5x+2y-6=0与l2：3x-5y-16=0的交点P的坐标是(2,-2).答案：(2,-2) (3)直线l1：5x+2y-6=0与l2：5x+2y-16=0的位置关系是_____.【解析】∵由直线l1与l2所组成的方程组无解，∴直线l1与l2平行.答案：平行 2.距离两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离 【即时应用】(1)原点到直线x+2y-5=0的距离是______；(2)已知A(a,-5)，B(0,10)，|AB|=17，则a=______；(3)两平行线y=2x与2x-y=-5间的距离为______. 【解析】(1)因为d=(2)依题设及两点间的距离公式得：=17,解得：a=±8；(3)因为两平行线方程可化为：2x-y=0与2x-y+5=0.因此，两平行线间的距离为：d=答案：(1)(2)±8(3) 两直线的交点问题【方法点睛】1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点.2.过直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0.(不包括直线A2x+B2y+C2=0) 【例1】(1)(2012•广州模拟)经过点(2，3)且经过两条直线l1:x+3y-4=0,l2:5x+2y+6=0的交点的直线方程为_____.(2)已知两直线l1：mx+8y+n=0与l2：2x+my-1=0，若l1与l2相交，求实数m、n满足的条件.【解题指南】(1)可求出两直线的交点坐标，用两点式解决；也可用过两直线交点的直线系解决；(2)两直线相交可考虑直线斜率之间的关系，从而得到m、n满足的条件. 【规范解答】(1)方法一：解方程组,得∴l1与l2的交点是(-2，2)，由两点式得所求直线的方程为,即x-4y+10=0.方法二：由于点(2,3)不在直线5x+2y+6=0上，故设所求直线方程为：x+3y-4+λ(5x+2y+6)=0(λ∈R)∵点(2，3)在直线上，∴2+3×3-4+λ(5×2+2×3+6)=0,∴ 故所求直线方程为x+3y-4+(-)(5x+2y+6)=0,即x-4y+10=0.(2)因为两直线l1：mx+8y+n=0与l2：2x+my-1=0相交，因此，当m=0时，l1的方程为，l2的方程为x=，两直线相交，此时，实数m、n满足的条件为m=0，n∈R；当m≠0时，∵两直线相交，∴，解得m≠±4，此时，实数m、n满足的条件为m≠±4，n∈R. 【互动探究】本例(1)中的“经过点(2,3)”改为“与直线2x-y=0垂直”,求该直线方程.【解析】方法一：因为两直线l1与l2的交点坐标为(-2，2).由题意可知所求直线的斜率故所求直线方程为：，即x+2y-2=0.方法二：设所求直线为x+3y-4+λ(5x+2y+6)=0(λ∈R),即(1+5λ)x+(3+2λ)y-4+6λ=0.又因为此直线与直线2x-y=0垂直，所以所求直线的斜率 即有解得∴所求直线方程为x+2y-2=0.答案：x+2y-2=0 【反思·感悟】1.本例(1)中是求直线方程,其关键是寻找确定直线的两个条件,可以直接求交点,利用两点式得出方程,此法要注意两点的纵(或横)坐标相同时,两点式方程不适用,也可以利用直线系方程求解,其关键是利用已知点求λ的值;2.考查两直线相交的条件,即斜率不等或有一条直线的斜率不存在. 【变式备选】当m为何值时，三条直线l1：4x+y-3=0与l2：x+y=0,l3：2x-3my-4=0能围成一个三角形?【解析】三条直线能围成三角形即三条直线两两相交且不共点，所以解得：m≠且m≠；又因为l1：4x+y-3=0与l2：x+y=0的交点为(1,-1)，所以2+3m-4≠0，解得 当m=0时，l3:2x-4=0,l1:4x+y-3=0,l2:x+y=0,l1与l3的交点为(2,-5)，l1与l2的交点为(1,-1),l2与l3的交点为(2,-2)，能构成三角形，符合题意.综上可知：且 距离公式的应用【方法点睛】1.两点间的距离的求法设点A(xA,yA),B(xB,yB)，|AB|=特例：AB⊥x轴时，|AB|=|yA-yB|AB⊥y轴时，|AB|=|xA-xB|. 2.点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式.3.两平行直线间的距离的求法(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.(2)利用两平行线间的距离公式.【提醒】应用两平行线间的距离公式求距离时,要注意两平行直线方程中x、y的系数必须相等. 【例2】已知三条直线l1:2x-y+a=0(a＞0),l2:-4x+2y+1=0和l3:x+y-1=0，且l1与l2的距离是(1)求a的值；(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是.若能，求P点坐标；若不能，说明理由. 【解题指南】(1)由l1与l2的距离及两平行线之间的距离公式，可得关于a的方程，解方程即可得出a的值；(2)由点P(x0,y0)满足②③条件可得出关于x0、y0的方程组，解方程组，即可求出点P的坐标，注意验证是否适合条件①. 【规范解答】(1)l2为∴l1与l2的距离为d=∵a＞0,∴a=3.(2)设存在第一象限的点P(x0,y0)满足条件②,则P点在与l1、l2平行的直线l′:2x-y+c=0上且 即c=或∴或若P点满足条件③，由点到直线的距离公式有：即|2x0-y0+3｜=|x0+y0-1|,∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0.∵P在第一象限，∴3x0+2=0不可能. 联立方程和x0-2y0+4=0,解得由，得∴存在P()同时满足条件①②③. 【反思·感悟】在解答本题时，首先要根据题设条件，由点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式得出方程(组)，这是很关键的问题；另外，还要注意每种距离公式所要求的条件，以防漏解、错解. 【变式训练】已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0，在坐标平面内求一点P，使｜PA｜=|PB|，且点P到直线l的距离为2.【解析】设点P的坐标为(a,b).∵A(4，-3)，B(2,-1)，∴线段AB的中点M的坐标为(3，-2)，∴线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3,即x-y-5=0. 由题意知点P(a,b)在上述直线上，∴a-b-5=0.①又点P(a,b)到直线l：4x+3y-2=0的距离为2，∴,即4a+3b-2=±10,②联立①②可得或∴所求点P的坐标为(1，-4)或(). 【变式备选】过点P(-1,2)引一直线，两点A(2,3)，B(-4,5)到该直线的距离相等，求这条直线的方程.【解析】方法一：当斜率不存在时，过点P(-1,2)的直线方程为：x=-1，A(2,3)到x=-1的距离等于3，且B(-4,5)到x=-1的距离也等于3，符合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为k，过点P(-1,2)的直线方程为：y-2=k(x+1)，即kx-y+k+2=0， 依题设知：解上式得：所以，所求直线方程为：x+3y-5=0；综上可知,所求直线方程为x=-1或x+3y-5=0.方法二：依题设知：符合题意的直线共有两条，一条是过点P(-1,2)与AB平行的直线，另一条是过点P及AB中点的直线.因为A(2,3)，B(-4,5)，所以 因此，过点P与AB平行的直线的方程为：即x+3y-5=0;又因为A(2,3)，B(-4,5)的中点坐标D(-1,4)，所以过点P及AB中点的直线方程为x=-1；综上可知,所求直线方程为x=-1或x+3y-5=0. 对称问题【方法点睛】1.对称中心的求法若两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于点P(a,b)对称，则由中点坐标公式求得a、b的值，即 2.轴对称的两个公式若两点M(x1,y1)、N(x2,y2)关于直线l：Ax+By+C=0(A≠0)对称，则线段MN的中点在对称轴l上，而且连接MN的直线垂直于对称轴l.故有 3.对称问题的具体应用(1)在直线上求一点，使它到两定点距离之和最小问题①当两定点分别在直线的异侧时，两点连线与直线的交点即为所求;②当两定点在直线的同一侧时，可借助于点关于直线对称，将问题转化为①情形来解决. (2)在直线上求一点，使它到两定点距离之差的绝对值最大问题①当两定点在直线的同一侧时，利用三角形的两边之差小于第三边，可知两定点的连线与直线的交点即为所求;②当两定点分别在直线的异侧时，可借助于点关于直线对称，将问题转化为①情形解决. 【例3】求直线a：2x+y-4=0关于直线l：3x+4y-1=0对称的直线b的方程.【解题指南】本题实质上是求直线的方程，可设法找到两个点的坐标，再由两点式即可求出方程；本题还可利用求曲线方程的方法求解，设所求曲线上任意一点，由该点关于直线l的对称点在已知曲线上，即可求得. 【规范解答】方法一：由解得直线a与l的交点E(3,-2)，E点也在直线b上.在直线a：2x+y-4=0上取一点A(2,0)，设A点关于直线l的对称点B的坐标为(x0,y0)，由解得 由两点式得直线b的方程为即2x+11y+16=0.方法二：设直线b上的动点P(x,y)关于l：3x+4y-1=0的对称点为Q(x0,y0).则 解上式得：由于Q(x0,y0)在直线a：2x+y-4=0上，则化简得2x+11y+16=0是所求的直线b的方程. 【反思·感悟】1.此题是求直线关于直线对称的直线方程问题，通过求解本题，我们可体会到求直(曲)线的对称直(曲)线方程时可以转化为求点的对称点坐标来求解.2.利用两点式求直线方程要注意两点横坐标相等或纵坐标相等的情形，此时可直接写出直线方程. 【变式训练】(1)在直线l：3x-y-1=0上求一点P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)在直线l：3x-y-1=0上求一点Q，使得Q到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小. 【解析】(1)如图甲所示，设点B关于l的对称点为B′，连接AB′并延长交l于P，此时的P满足|PA|-|PB|的值最大.设B′的坐标为(a,b),则即∴a+3b-12=0,①又由于线段BB′的中点坐标为(),且在直线l上， ∴,即3a-b-6=0.②①②联立，解得a=3,b=3,∴B′(3,3).于是AB′的方程为即2x+y-9=0,解得∴所求P点的坐标为(2，5). (2)如图乙所示，设C关于l的对称点为C′，连接AC′与l交于点Q，此时的Q满足|QA|+|QC|的值最小. 设C′的坐标为(x′,y′),解得∴C′().由两点式得直线AC′的方程为 即19x+17y-93=0.解,得∴所求Q点的坐标为(). 【创新探究】新定义下的直线方程问题【典例】(2012·上海模拟)在平面直角坐标系中，设点P(x,y)，定义[OP]=|x|+|y|，其中O为坐标原点.对于以下结论：①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；②设P为直线x+2y-2=0上任意一点，则[OP]的最小值为1；其中正确的结论有_____(填上你认为正确的所有结论的序号). 【解题指南】①根据新定义，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积；②认真观察直线方程，可举一个反例，得到[OP]的最小值为1是假命题.【规范解答】①由[OP]=1，根据新定义得：|x|+|y|=1,上式可化为：y=-x+1(0≤x≤1)，y=-x-1(-1≤x≤0)，y=x+1(-1≤x≤0)，y=x-1(0≤x≤1),画出图象如图所示： 根据图形得到：四边形ABCD为边长是的正方形，所以面积等于2，故①正确；②当点P为(，0)时，[OP]=|x|+|y|=+0＜1,所以[OP]的最小值不为1，故②错误；所以正确的结论有：①.答案：① 【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：创新点拨本题有以下两处创新点(1)考查内容的创新，对解析几何问题与函数知识巧妙结合进行考查.(2)考查对新定义、新概念的理解与运用的同时考查思维的创新,本题考查了学生的发散思维，思维方向与习惯思维有所不同. 备考建议解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点：(1)充分理解概念、定理的内涵与外延；(2)对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值；(3)注意新概念、新结论正用怎样，逆用又将如何，变形将会如何. 1.(2012·珠海模拟)直线l1的斜率为2,l1∥l2，直线l2过点(-1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()(A)(3，0)(B)(-3，0)(C)(0，-3)(D)(0，3)【解析】选D.∵点P在y轴上，∴设P(0,y),又∵∴∴y=3,∴P(0,3). 2.(2012·韶关模拟)若三条直线l1:x+y=7,l2:3x-y=5,l3:2x+y+c=0不能围成一个三角形，则c的值为______. 【解析】∵l1、l2、l3的斜率都不相等，∴l1、l2、l3中的任两条都不平行.又∵l1、l2、l3不能围成一个三角形，∴l1、l2、l3相交于一点.由,得∴2×3+4+c=0，解得c=-10.答案：-10 3.(2012·广州模拟)设直线l经过点A(-1,1)，则当点B(2,-1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为______.【解析】当l与过两点的直线垂直时，B(2,-1)与直线l的距离最远，因为kAB=，所以,因此所求直线的方程为：y-1=(x+1)，即3x-2y+5=0.答案：3x-2y+5=0 4.(2011·安徽高考)设直线l1:y=k1x+1，l2:y=k2x-1，其中实数k1，k2满足k1k2+2=0.(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.【解题指南】(1)注意两直线相交的定义，可用反证法；先假设l1与l2不相交,之后推出矛盾.(2)可以求出交点，代入方程；也可消去参数k1、k2，得出椭圆方程. 【证明】(1)(反证法)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1＝k2，代入k1k2+2=0，得此与k1为实数的事实相矛盾.从而k1≠k2，即l1与l2相交.(2)方法一：由方程组得得交点P的坐标(x,y)为而 此即表明交点在椭圆2x2+y2=1上.方法二：交点P的坐标(x,y)满足，显然x≠0，从而，代入k1k2+2=0，得，整理得：2x2+y2=1,所以交点P在椭圆2x2+y2=1上.