高中数学人教A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.2 两点间的距离 练习（含解析）

课时跟踪检测（二十）两条直线的交点坐标、两点间的距离一、题组对点训练对点练一 两条直线交点的坐标1．下列各直线中，与直线2x－y－3＝0相交的是(  )A．2ax－ay＋6＝0(a≠0)   B．y＝2xC．2x－y＋5＝0D．2x＋y－3＝0解析：选D 直线2x－y－3＝0的斜率为2，D选项中的直线的斜率为－2，故D选项正确．2．若两直线l1：x＋my＋12＝0与l2：2x＋3y＋m＝0的交点在y轴上，则m的值为(  )A．6B．－24C．±6D．以上都不对解析：选C 分别令x＝0，求得两直线与y轴的交点分别为：－和－，由题意得－＝－，解得m＝±6.3．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是(  )A．2x＋y－8＝0B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0D．2x－y＋8＝0解析：选A 首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.4．分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1)平行于直线l1：4x－2y－7＝0；(2)垂直于直线l2：3x－2y＋4＝0.解：解方程组得交点P(1,1)．(1)若直线与l1平行，∵k1＝2，∴斜率k＝2，∴所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即：2x－y－1＝0.(2)若直线与l2垂直，∵k2＝，∴斜率k＝－＝－，∴所求直线方程为y－1＝－(x－1)，即：2x＋3y－5＝0. 对点练二 两点间的距离公式5．已知平面上两点A(x，－x)，B，则|AB|的最小值为(  )A．3B.C．2D.解析：选D ∵|AB|＝＝≥，当且仅当x＝时等号成立，∴|AB|min＝.6．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的△ABC的形状是(  )A．直角三角形B．等边三角形C．等腰非等边三角形D．等腰直角三角形解析：选C 根据两点间的距离公式，得|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝＝3，所以|AB|＝|AC|≠|BC|，且|AB|2＋|AC|2≠|BC|2，故△ABC是等腰非等边三角形．7．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________．解析：设A(x,0)，B(0，y)，∵AB中点P(2，－1)，∴＝2，＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A(4,0)，B(0，－2)，∴|AB|＝＝2.答案：28．过点A(3，－1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x于点C，若|BC|＝2|AB|，则直线l的方程为________．解析：当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝3，∴B(3,0)，C(3,6)．此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|，∴直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＋1＝k(x－3)，显然k≠0且k≠2.令y＝0，得x＝3＋，∴B.由得点C的横坐标xC＝.∵|BC|＝2|AB|，∴|xB－xC|＝2|xA－xB|， ∴＝2，∴－－3＝或－－3＝－，解得k＝－或k＝.∴所求直线l的方程为3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0.答案：3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0对点练三 对称问题9．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为(  )A．3x＋4y－5＝0B．3x＋4y＋5＝0C．3x－4y＋5＝0D．3x－4y－5＝0解析：选B 令x＝0，解得y＝；令y＝0，解得x＝－，故和是直线3x－4y＋5＝0上两点，点关于x轴的对称点为，过两点和的直线即为所求，由两点式或截距式可得3x＋4y＋5＝0.10．已知直线l：x＋2y－2＝0，试求：(1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；(2)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．解：(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，则线段PP′的中点在直线l上，且PP′⊥l.所以解得即P′点的坐标为.(2)设直线l关于点A(1,1)的对称直线为l′，则直线l上任一点P2(x1，y1)关于点A的对称点P2′(x，y)一定在直线l′上，反之也成立．由得将(x1，y1)代入直线l的方程得，x＋2y－4＝0，即直线l′的方程为x＋2y－4＝0.二、综合过关训练1．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p为(  )A．24B．20C．0D．－4 解析：选B ∵两直线互相垂直，∴k1·k2＝－1，∴－·＝－1，∴m＝10.又∵垂足为(1，p)，∴代入直线10x＋4y－2＝0得p＝－2，将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0得n＝－12，∴m－n＋p＝20.2．若非零实数a，b满足3a＝2b(a＋1)，且直线＋＝1恒过一定点，则定点坐标为(  )A.B．(1,3)C．(－3，－2)D.解析：选A ∵非零实数a，b满足3a＝2b(a＋1)，∴＝＋.∵＋＝1，∴＋·y＝1，∴6x＋(a＋1)y＝3a，∴(6x＋y)＋a(y－3)＝0.令y－3＝0，且6x＋y＝0，得x＝－，y＝3，∴定点坐标为.3．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是(  )A．(2,3)B．(－2，－1)C．(－4，－3)D．(0,1)解析：选A 由题意知，直线MN过点M(0，－1)且与直线x＋2y－3＝0垂直，其方程为2x－y－1＝0.直线MN与直线x－y＋1＝0的交点为N，联立方程组解得即N点坐标为(2,3)．4．设直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为________．解析：法一：联立得所以两直线的交点坐标为(14,10)．由题意可得所求直线的斜率为1或－1，所以所求直线的方程为y－10＝x－14或y－10＝－(x－14)，即x－y－4＝0或x＋y－24＝0.法二：设所求的直线方程为(2x－3y＋2)＋λ(3x－4y－2)＝0，整理得(2＋3λ)x－(4λ ＋3)y－2λ＋2＝0，由题意，得＝±1，解得λ＝－1或λ＝－，所以所求的直线方程为x－y－4＝0或x＋y－24＝0.答案：x－y－4＝0或x＋y－24＝05．已知在平行四边形ABCD中，A(1,1)，B(7,1)，D(4,6)，点M是边AB的中点，CM与BD交于点P.(1)求直线CM的方程；(2)求点P的坐标．解：(1)设点C的坐标为(x，y)，因为在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，所以线段AB，DC所在直线的斜率相等，线段AD，BC所在直线的斜率相等，则解得即C(10,6)．又点M是边AB的中点，所以M(4,1)，所以直线CM的方程为＝，即5x－6y－14＝0.(2)因为B(7,1)，D(4,6)，所以直线BD的方程为＝，即5x＋3y－38＝0.由解得即点P的坐标为.6．直线l过定点P(0,1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A、B两点．若线段AB的中点为P，求直线l的方程．解：法一：设A(x0，y0)，由中点公式，有B(－x0,2－y0)，∵A在l1上，B在l2上，∴⇒∴kAP＝＝－，故所求直线l的方程为：y＝－x＋1，即x＋4y－4＝0.法二：设所求直线l方程为：y＝kx＋1，l与l1、l2分别交于A、B.解方程组⇒A，解方程组⇒B. ∵A、B的中点为P(0,1)，则有：＝0，∴k＝－.故所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.法三：设所求直线l与l1、l2分别交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，P(0,1)为AB的中点，则有：⇒代入l2的方程，得：2(－x1)＋2－y1－8＝0即2x1＋y1＋6＝0.解方程组⇒A(－4,2)．由两点式：所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.法四：同法一，设A(x0，y0)，两式相减得x0＋4y0－4＝0，(1)观察直线x＋4y－4＝0，一方面由(1)知A(x0，y0)在该直线上；另一方面，P(0,1)也在该直线上，从而直线x＋4y－4＝0过点P、A.根据两点决定一条直线知，所求直线l的方程为：x＋4y－4＝0.7．求函数y＝＋的最小值．解：原式可化为y＝＋.考虑两点间的距离公式，如图所示，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|最小．作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，由图可直观得出|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，故|PA|＋|PB|的最小值为|A′B|的长度．由两点间的距离公式可得|A′B|＝＝5，所以函数y＝＋的最小值为5.