3．3.1&3.3.2 两条直线的交点坐标 两点间的距离第一课时 两条直线的交点坐标 两点间的距离两条直线的交点坐标[提出问题]已知二元一次方程组问题1：二元一次方程组的解法有哪些？提示：代入消元法、加减消元法．问题2：在方程组中，每一个方程都可表示为一直线，那么方程组的解说明什么？提示：两直线的公共部分，即交点．问题3：若给出两直线y＝x＋1与y＝3x－2，如何求其交点坐标？提示：联立解方程组求方程组的解即可得．[导入新知]1．两直线的交点坐标几何元素及关系代数表示点AA(a，b)直线ll：Ax＋By＋C＝0点A在直线l上Aa＋Bb＋C＝0直线l1与l2的交点是A方程组的解是2．两直线的位置关系方程组的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行 [化解疑难]两直线相交的条件(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)．(3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2.两点间的距离-8-
[提出问题]数轴上已知两点A，B.问题1：如何求A，B两点间的距离？提示：|AB|＝|xA－xB|.问题2：在平面直角坐标系中能否用数轴上两点间距离求出任意两点间距离？提示：可以，构造直角三角形利用勾股定理求解．[导入新知]两点间的距离公式(1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．[化解疑难]两点间距离公式的理解(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝.(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|＝.两条直线的交点问题[例1] 判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标．(1)l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0；(2)l1：2x－6y＋3＝0，l2：y＝x＋；(3)l1：2x－6y＝0，l2：y＝x＋.[解] (1)解方程组得所以l1与l2相交，且交点坐标为.(2)解方程组②×6整理得2x－6y＋3＝0.-8-
因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．(3)解方程组②×6－①得3＝0，矛盾．方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.[类题通法]判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．(3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．[活学活用] 直线y＝kx＋3与直线y＝x－5的交点在直线y＝x上，求k的值．解：由题意可知，三条直线y＝kx＋3，y＝x－5，y＝x交于一点．由得x＝y＝，代入y＝x－5，得＝·－5，解得k＝1或k＝.因为直线y＝kx＋3与直线y＝x－5相交，所以k≠，即k≠1，故k＝.直线恒过定点问题[例2] 求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过某一定点．[解] 证明：法一：取m＝1时，直线方程为y＝－4；取m＝时，直线方程为x＝9.两直线的交点为P(9，－4)，将点P的坐标代入原方程左边＝(m－1)×9＋(2m－1)×(－4)＝m－5.故不论m取何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即直线恒过点P(9，－4)．法二：原方程化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0.若对任意m都成立，则有得所以不论m为何实数，所给直线都过定点P(9，－4)．[类题通法]-8-
解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．[活学活用] 求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．解：法一：设所求直线为l，因为直线l过已知两直线的交点，因此直线l的方程可设为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0(其中λ为常数)，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. ①又直线l与直线3x＋y－1＝0平行，所以－＝－3且≠，解得λ＝.将λ＝代入①，整理，得15x＋5y＋16＝0，即为所求．法二：解方程组得所以两直线的交点坐标为.又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.故所求直线方程为y＋＝－3，即15x＋5y＋16＝0.两点间距离公式的应用[例3] 已知点A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)，求证：△ABC为直角三角形．[解] 证明：法一：∵|AB|＝＝2，|AC|＝＝，又|BC|＝＝5，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，∴△ABC为直角三角形．法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－2，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．[类题通法]1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝.-8-
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．2．解答本题还要注意构成三角形的条件．[活学活用] 若点A(－3,4)与坐标轴上的点P的距离等于5，试确定点P的坐标．解：若点P在x轴上，设点P的坐标为(x,0)，由点P与点A之间的距离等于5，得＝5，解得x＝0或x＝－6，所以点P的坐标为(0,0)或(－6,0)；若点P在y轴上，设点P的坐标为(0，y)，由点P与点A之间的距离等于5，得＝5，解得y＝0或y＝8，所以点P的坐标为(0,0)或(0,8)．故所求的点P有3个，坐标分别为(－6,0)，(0,0)，(0,8)． [典例] 若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是( )A．a＝1或a＝－2 B．a≠±1C．a≠1且a≠－2D．a≠±1且a≠－2[解析] 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．①若三条直线交于一点，由解得将l2，l3的交点(－a－1,1)代入l1的方程解得a＝1或a＝－2*；②若l1∥l2，则由a×a－1×1＝0，得a＝±1**，当a＝1时，l1与l2重合；③若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，得a＝1，当a＝1时，l2与l3重合；④若l1∥l3，则由a×1－1×1＝0，得a＝1，当a＝1时，l1与l3重合．综上，当a＝1时，三条直线重合；当a＝－1时，l1∥l2；当a＝－2时，三条直线交于一点，所以要使三条直线能构成三角形，需a≠±1且a≠－2.[答案] D-8-
[易错防范]*处，解题过程中，由a＝1或a＝－2得a≠1且a≠－2，此种错误是因只考虑了三条直线相交于一点不能构成三角形，而忽视了任意两条平行或重合的直线也不能构成三角形．**处，若得到a≠±1，只考虑了直线的斜率不相等的条件，而忽视了三条直线相交于一点也不能构成三角形．解答此类问题由条件不易直接求参数，可考虑从反面入手，同时考虑问题要全面，不要漏掉某些情形．[成功破障]若直线y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为( )A. B．－C.D．－答案：C[随堂即时演练]1．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点的坐标为( )A．(－4，－3) B．(4,3)C．(－4,3)D．(3,4)答案：C2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为( )A．1B．－5C．1或－5D．－1或5答案：C3．若直线y＝kx＋3k－2与y＝－x＋1的交点在第一象限，则k的取值范围为________．答案：4．若p，q满足p－2q＝1，直线px＋3y＋q＝0必过一个定点，该定点坐标为________．-8-
答案：5．分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1)平行于直线l1：4x－2y－7＝0；(2)垂直于直线l2：3x－2y＋4＝0.答案：(1)2x－y－1＝0 (2)2x＋3y－5＝0[课时达标检测]一、选择题1．两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为( )A．－24 B．6C．±6D．24答案：C2．一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点是( )A．(－3,1)或(7,1)B．(2，－3)或(2,7)C．(－3,1)或(5,1)D．(2，－3)或(2,5)答案：A3．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点且与第一条直线垂直的直线方程是( )A．x－3y＋7＝0B．x－3y＋13＝0C．3x－y＋7＝0D．3x－y－5＝0答案：B4．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为( )A．6B.C．2D．不能确定答案：B5．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线( )A．恒过定点(－2,3)B．恒过定点(2,3)C．恒过点(－2,3)和点(2,3)D．都是平行直线答案：A二、填空题-8-
6．已知在△ABC中，A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，则△ABC的形状为________．答案：等腰直角三角形7．已知直线l1：a1x＋b1y＋1＝0和直线l2：a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2,1)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是____________．答案：2x＋y＋1＝08．在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为________．答案：三、解答题9．若三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0能构成一个三角形，求k的取值范围．解：①当l1∥l3时知k≠0且有＝1，所以有k＝5.②当l2∥l3时知k≠0且有＝－1，所以有k＝－5.③当l1，l2，l3三线交于一点时，解方程组得故直线l1与l2相交于点(1,1)．又l3过点(1,1)，所以有5×1－k－15＝0，所以有k＝－10.综上可知，要使三条直线构成一个三角形，需有k≠±5且k≠－10.10．已知点A(1，－1)，B(2,2)，点P在直线y＝x上，求|PA|2＋|PB|2取得最小值时P点的坐标．解：设P(2t，t)，则|PA|2＋|PB|2＝(2t－1)2＋(t＋1)2＋(2t－2)2＋(t－2)2＝10t2－14t＋10.当t＝时，|PA|2＋|PB|2取得最小值，此时有P，所以|PA|2＋|PB|2取得最小值时P点的坐标为.-8-
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